Exercice 41

Calculez les expressions suivantes :

1. \((\sqrt{45} + \sqrt{5})^{2}\)

2. \((\sqrt{21} + \sqrt{12})(\sqrt{21} - \sqrt{12})\)

3. \((\sqrt{18} \cdot \sqrt{3})^{2}\)

4. \((\sqrt{16} - \sqrt{4})^{2}\)

5. \((35 + 1)^{2}\)

6. \(88^{2}\)

7. \((\sqrt{289} + \sqrt{169})(\sqrt{289} - \sqrt{169})\)

Réponse

Réponses finales : a) 80 b) 9 c) 54 d) 4 e) 1296 f) 7744 g) 120.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

────────────────────────────── a) Calcul de (√45 + √5)²

1. D’abord, simplifions √45.
   Sachant que 45 = 9 × 5, on peut écrire :
     √45 = √9 × √5 = 3√5.

2. Remplaçons dans l’expression :
     √45 + √5 = 3√5 + √5 = (3 + 1)√5 = 4√5.

3. En élevant au carré, on applique la règle (a√b)² = a² × b :
     (4√5)² = 4² × 5 = 16 × 5 = 80.

Réponse de a) : 80

────────────────────────────── b) Calcul de (√21 + √12)(√21 – √12)

1. On reconnaît la différence de deux carrés avec la formule (A + B)(A – B) = A² – B².
   Ici, A = √21 et B = √12.

2. Calculons A² et B² :
     (√21)² = 21
     (√12)² = 12

3. On applique la formule :
     (√21 + √12)(√21 – √12) = 21 – 12 = 9

Réponse de b) : 9

────────────────────────────── c) Calcul de (√18 × √3)²

1. Multiplions les racines :
     √18 × √3 = √(18 × 3) = √54

2. L’élévation au carré annule la racine :
     (√54)² = 54

Une autre méthode consiste à remarquer que (√18)² = 18 et (√3)² = 3, ainsi :
  (√18 × √3)² = 18 × 3 = 54

Réponse de c) : 54

────────────────────────────── d) Calcul de (√16 – √4)²

1. Calcul des racines :
     √16 = 4
     √4 = 2

2. Soustraction :
     4 – 2 = 2

3. En élevant au carré :
     2² = 4

Réponse de d) : 4

────────────────────────────── e) Calcul de (35 + 1)²

1. Somme dans la parenthèse :
     35 + 1 = 36

2. Élévation au carré :
     36² = 36 × 36 = 1296

Réponse de e) : 1296

────────────────────────────── f) Calcul de 88²

1. Pour calculer 88², on peut utiliser la méthode de développement :
     88² = (80 + 8)²

2. En développant avec la formule (a + b)² = a² + 2ab + b² où a = 80 et b = 8 :
     a² = 80² = 6400
     2ab = 2 × 80 × 8 = 1280
     b² = 8² = 64

3. En additionnant :
     6400 + 1280 + 64 = 7744

Réponse de f) : 7744

────────────────────────────── g) Calcul de (√289 + √169)(√289 – √169)

1. Calcul des racines :
     √289 = 17 (puisque 17² = 289)
     √169 = 13 (puisque 13² = 169)

2. Les deux facteurs deviennent :
     (17 + 13) et (17 – 13), soit 30 et 4.

3. Multiplication des deux résultats :
     30 × 4 = 120

Une autre méthode est d’utiliser la formule de la différence de deux carrés :
  (√289)² – (√169)² = 289 – 169 = 120

Réponse de g) : 120

────────────────────────────── Ainsi, les réponses finales sont :
a) 80
b) 9
c) 54
d) 4
e) 1296
f) 7744
g) 120