Exercice 40

Question : Considérons les trois monômes :

\[ A = 4x^{3} \]

\[ B = 9 \]

\[ C = 6x^{2} \]

Calculez :

  1. \(A \cdot C\)

  2. \(A \cdot C + B^{2}\)

  3. \(A \cdot B + C\)

  4. \(2A + C^{2}\)

  5. \((A + B) \cdot C\)

  6. \((A + B)^{2}\)

  7. \(A^{2} + 2AB + B^{2}\)

  8. \(A^{2} + B^{2}\)

  9. \((A + B)(A - B)\)

  10. \(A^{2} - B^{2}\)

Réponse

Résumé des Réponses

  1. \[ A \cdot C = 24x^{5} \]

  2. \[ A \cdot C + B^{2} = 24x^{5} + 81 \]

  3. \[ A \cdot B + C = 36x^{3} + 6x^{2} \]

  4. \[ 2A + C^{2} = 36x^{4} + 8x^{3} \]

  5. \[ (A + B) \cdot C = 24x^{5} + 54x^{2} \]

  6. \[ (A + B)^{2} = 16x^{6} + 72x^{3} + 81 \]

  7. \[ A^{2} + 2AB + B^{2} = 16x^{6} + 72x^{3} + 81 \]

  8. \[ A^{2} + B^{2} = 16x^{6} + 81 \]

  9. \[ (A + B)(A - B) = 16x^{6} - 81 \]

  10. \[ A^{2} - B^{2} = 16x^{6} - 81 \]

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice en utilisant les monômes donnés :

\[ A = 4x^{3}, \quad B = 9, \quad C = 6x^{2} \]

a) \(A \cdot C\)

Étapes de calcul :

  1. Multiplication des coefficients :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(C = 6x^{2}\)
    • Coefficient de \(A\) : 4
    • Coefficient de \(C\) : 6
    • Multiplions les coefficients : \(4 \times 6 = 24\)
  2. Multiplication des puissances de \(x\) :
    • \(x^{3} \times x^{2} = x^{3+2} = x^{5}\)
  3. Résultat :
    • \(A \cdot C = 24x^{5}\)

Réponse : \[ A \cdot C = 24x^{5} \]

b) \(A \cdot C + B^{2}\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(A \cdot C\) :
    • D’après la partie a), \(A \cdot C = 24x^{5}\)
  2. Calcul de \(B^{2}\) :
    • \(B = 9\)
    • \(B^{2} = 9^{2} = 81\)
  3. Addition des deux résultats :
    • \(24x^{5} + 81\)

Réponse : \[ A \cdot C + B^{2} = 24x^{5} + 81 \]

c) \(A \cdot B + C\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(A \cdot B\) :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(B = 9\)
    • \(A \cdot B = 4x^{3} \times 9 = 36x^{3}\)
  2. Ajout de \(C\) :
    • \(C = 6x^{2}\)
    • \(36x^{3} + 6x^{2}\)

Réponse : \[ A \cdot B + C = 36x^{3} + 6x^{2} \]

d) \(2A + C^{2}\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(2A\) :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(2A = 2 \times 4x^{3} = 8x^{3}\)
  2. Calcul de \(C^{2}\) :
    • \(C = 6x^{2}\)
    • \(C^{2} = (6x^{2})^{2} = 6^{2} \times x^{2 \times 2} = 36x^{4}\)
  3. Addition des deux résultats :
    • \(8x^{3} + 36x^{4}\)
    • Généralement, on écrit les termes par ordre décroissant des puissances :
      • \(36x^{4} + 8x^{3}\)

Réponse : \[ 2A + C^{2} = 36x^{4} + 8x^{3} \]

e) \((A + B) \cdot C\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(A + B\) :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(B = 9\)
    • \(A + B = 4x^{3} + 9\)
  2. Multiplication par \(C\) :
    • \(C = 6x^{2}\)
    • \((4x^{3} + 9) \times 6x^{2}\)
    • Distribuons \(6x^{2}\) à chaque terme :
      • \(4x^{3} \times 6x^{2} = 24x^{5}\)
      • \(9 \times 6x^{2} = 54x^{2}\)
  3. Résultat final :
    • \(24x^{5} + 54x^{2}\)

Réponse : \[ (A + B) \cdot C = 24x^{5} + 54x^{2} \]

f) \((A + B)^{2}\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(A + B\) :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(B = 9\)
    • \(A + B = 4x^{3} + 9\)
  2. Élévation au carré :
    • Utilisons la formule \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
    • \(a = 4x^{3}\), \(b = 9\)
    • Calculons chaque terme :
      • \(a^2 = (4x^{3})^{2} = 16x^{6}\)
      • \(2ab = 2 \times 4x^{3} \times 9 = 72x^{3}\)
      • \(b^2 = 9^{2} = 81\)
  3. Addition des termes :
    • \(16x^{6} + 72x^{3} + 81\)

Réponse : \[ (A + B)^{2} = 16x^{6} + 72x^{3} + 81 \]

g) \(A^{2} + 2AB + B^{2}\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(A^{2}\) :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(A^{2} = (4x^{3})^{2} = 16x^{6}\)
  2. Calcul de \(2AB\) :
    • \(A = 4x^{3}\), \(B = 9\)
    • \(AB = 4x^{3} \times 9 = 36x^{3}\)
    • \(2AB = 2 \times 36x^{3} = 72x^{3}\)
  3. Calcul de \(B^{2}\) :
    • \(B = 9\)
    • \(B^{2} = 81\)
  4. Addition des termes :
    • \(16x^{6} + 72x^{3} + 81\)

Remarque : Cette expression est identique à celle de la partie f), ce qui confirme la bonne application de la formule de développement.

Réponse : \[ A^{2} + 2AB + B^{2} = 16x^{6} + 72x^{3} + 81 \]

h) \(A^{2} + B^{2}\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(A^{2}\) :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(A^{2} = (4x^{3})^{2} = 16x^{6}\)
  2. Calcul de \(B^{2}\) :
    • \(B = 9\)
    • \(B^{2} = 81\)
  3. Addition des deux termes :
    • \(16x^{6} + 81\)

Réponse : \[ A^{2} + B^{2} = 16x^{6} + 81 \]

i) \((A + B)(A - B)\)

Étapes de calcul :

  1. Identification de la formule :
    • La formule correspondante est \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\)
  2. Application de la formule :
    • \(a = A = 4x^{3}\)
    • \(b = B = 9\)
    • Donc, \((A + B)(A - B) = A^{2} - B^{2}\)
  3. Calcul de \(A^{2} - B^{2}\) :
    • \(A^{2} = 16x^{6}\)
    • \(B^{2} = 81\)
    • \(A^{2} - B^{2} = 16x^{6} - 81\)

Réponse : \[ (A + B)(A - B) = 16x^{6} - 81 \]

j) \(A^{2} - B^{2}\)

Étapes de calcul :

  1. Calcul de \(A^{2}\) :
    • \(A = 4x^{3}\)
    • \(A^{2} = (4x^{3})^{2} = 16x^{6}\)
  2. Calcul de \(B^{2}\) :
    • \(B = 9\)
    • \(B^{2} = 81\)
  3. Soustraction des deux termes :
    • \(16x^{6} - 81\)

Réponse : \[ A^{2} - B^{2} = 16x^{6} - 81 \]

Résumé des Réponses

  1. \[ A \cdot C = 24x^{5} \]

  2. \[ A \cdot C + B^{2} = 24x^{5} + 81 \]

  3. \[ A \cdot B + C = 36x^{3} + 6x^{2} \]

  4. \[ 2A + C^{2} = 36x^{4} + 8x^{3} \]

  5. \[ (A + B) \cdot C = 24x^{5} + 54x^{2} \]

  6. \[ (A + B)^{2} = 16x^{6} + 72x^{3} + 81 \]

  7. \[ A^{2} + 2AB + B^{2} = 16x^{6} + 72x^{3} + 81 \]

  8. \[ A^{2} + B^{2} = 16x^{6} + 81 \]

  9. \[ (A + B)(A - B) = 16x^{6} - 81 \]

  10. \[ A^{2} - B^{2} = 16x^{6} - 81 \]

Conclusion

Chaque partie de cet exercice a été résolue en suivant des étapes logiques simples, en appliquant les règles de multiplication des monômes et en utilisant des formules de développement. Cela permet d’obtenir les expressions simplifiées pour chaque question posée.

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