Question : Développe puis réduis chaque expression :
\((x + 6)(x - 6) =\)
\((y + 4)(y - 4) =\)
\((3y - 2)(3y + 2) =\)
\((2x + 8)(2x - 8) =\)
\((-5x + 15)(-5x - 15) =\)
\((-4x + 3)(4x + 3) =\)
\((x + 6)(x - 6) = x² - 36\)
\((y + 4)(y - 4) = y² - 16\)
\((3y - 2)(3y + 2) = 9y² - 4\)
\((2x + 8)(2x - 8) = 4x² - 64\)
\((-5x + 15)(-5x - 15) = 25x² - 225\)
\((-4x + 3)(4x + 3) = -16x² + 9\)
Étape 1 : Identifier la structure de l’expression
L’expression \((x + 6)(x - 6)\) est une multiplication de deux binômes qui ont la même variable \(x\) et des constantes opposées (\(+6\) et \(-6\)). C’est une forme particulière appelée produit de deux binômes conjugués, qui suit la formule : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Dans notre cas, \[ a = x \quad \text{et} \quad b = 6 \] En appliquant la formule : \[ (x + 6)(x - 6) = x^2 - 6^2 \]
Étape 3 : Calculer les puissances
\[ 6^2 = 36 \] Donc, \[ x^2 - 6^2 = x^2 - 36 \]
Réponse finale : \[ (x + 6)(x - 6) = x^2 - 36 \]
Étape 1 : Identifier la structure de l’expression
L’expression \((y + 4)(y - 4)\) est également un produit de deux binômes conjugués. La formule à utiliser est : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Ici, \[ a = y \quad \text{et} \quad b = 4 \] Donc, \[ (y + 4)(y - 4) = y^2 - 4^2 \]
Étape 3 : Calculer les puissances
\[ 4^2 = 16 \] Ainsi, \[ y^2 - 4^2 = y^2 - 16 \]
Réponse finale : \[ (y + 4)(y - 4) = y^2 - 16 \]
Étape 1 : Identifier la structure de l’expression
L’expression \((3y - 2)(3y + 2)\) est un produit de deux binômes conjugués, mais avec des coefficients différents. Utilisons la formule générale : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Ici, \[ a = 3y \quad \text{et} \quad b = 2 \] Donc, \[ (3y - 2)(3y + 2) = (3y)^2 - 2^2 \]
Étape 3 : Calculer les puissances
\[ (3y)^2 = 9y^2 \quad \text{et} \quad 2^2 = 4 \] Ainsi, \[ 9y^2 - 4 \]
Réponse finale : \[ (3y - 2)(3y + 2) = 9y^2 - 4 \]
Étape 1 : Identifier la structure de l’expression
L’expression \((2x + 8)(2x - 8)\) est également un produit de deux binômes conjugués. La formule à utiliser est : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Ici, \[ a = 2x \quad \text{et} \quad b = 8 \] Donc, \[ (2x + 8)(2x - 8) = (2x)^2 - 8^2 \]
Étape 3 : Calculer les puissances
\[ (2x)^2 = 4x^2 \quad \text{et} \quad 8^2 = 64 \] Ainsi, \[ 4x^2 - 64 \]
Réponse finale : \[ (2x + 8)(2x - 8) = 4x^2 - 64 \]
Étape 1 : Identifier la structure de l’expression
L’expression \((-5x + 15)(-5x - 15)\) est un produit de deux binômes conjugués avec des coefficients négatifs. Même principe que précédemment : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Ici, \[ a = -5x \quad \text{et} \quad b = 15 \] Donc, \[ (-5x + 15)(-5x - 15) = (-5x)^2 - 15^2 \]
Étape 3 : Calculer les puissances
\[ (-5x)^2 = 25x^2 \quad \text{et} \quad 15^2 = 225 \] Ainsi, \[ 25x^2 - 225 \]
Réponse finale : \[ (-5x + 15)(-5x - 15) = 25x^2 - 225 \]
Étape 1 : Identifier la structure de l’expression
L’expression \((-4x + 3)(4x + 3)\) ne suit pas directement la forme de deux binômes conjugués car les signes ne sont pas opposés dans les deux termes. Cependant, nous pouvons développer en utilisant la distributivité.
Étape 2 : Développer l’expression
Appliquons la méthode du produit : \[ (-4x + 3)(4x + 3) = (-4x) \times 4x + (-4x) \times 3 + 3 \times 4x + 3 \times 3 \]
Étape 3 : Effectuer les multiplications
\[ -4x \times 4x = -16x^2 \] \[ -4x \times 3 = -12x \] \[ 3 \times 4x = 12x \] \[ 3 \times 3 = 9 \]
Étape 4 : Réduire les termes semblables
Additionnons tous les termes obtenus : \[ -16x^2 - 12x + 12x + 9 \] Les termes \(-12x\) et \(+12x\) s’annulent : \[ -16x^2 + 9 \]
Réponse finale : \[ (-4x + 3)(4x + 3) = -16x^2 + 9 \]