Question : Développe et réduis chacune des expressions suivantes :
\(\mathrm{A} = (y + 2)(y + 4)\)
\(B = (3y - 2)(y + 5)\)
\(C = (6v + 3)(-v + 2)\)
\(\mathrm{D} = (2 + m)(3m - 4)\)
\(\mathrm{E} = (4z - 1)(z + 6)\)
\(\mathrm{F} = (-2x + 5)(3x - 1)\)
\(\mathrm{G} = (2x + 3)(-x + 4) + (3x - 1)(2x + 5)\)
\(\mathrm{H} = 5x^{2} - (2x - 4)\)
\(K = (7x - 3)(-x + 2)\)
\(\mathrm{L} = (x - 4)(5x + 2)\)
Réponses :
Voici la correction détaillée pour chacune des expressions.
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A) Développer A = (y + 2)(y + 4)
Nous utilisons la méthode de distribution (aussi appelée méthode de
“FOIL” en anglais) :
1. Produit des premiers termes : y × y = y²
2. Produit des termes extérieurs : y × 4 = 4y
3. Produit des termes intérieurs : 2 × y = 2y
4. Produit des derniers termes : 2 × 4 = 8
Ensuite, on additionne tous les termes obtenus :
y² + 4y + 2y + 8 = y² + (4y + 2y) + 8 = y² + 6y + 8
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B) Développer B = (3y - 2)(y + 5)
Appliquons la distribution terme par terme :
1. 3y × y = 3y²
2. 3y × 5 = 15y
3. (-2) × y = -2y
4. (-2) × 5 = -10
En combinant les termes semblables (les termes en y) :
3y² + 15y - 2y - 10 = 3y² + (15y - 2y) - 10 = 3y² + 13y - 10
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C) Développer C = (6v + 3)(-v + 2)
Procédons de la même manière :
1. 6v × (-v) = -6v²
2. 6v × 2 = 12v
3. 3 × (-v) = -3v
4. 3 × 2 = 6
Additionnons ensuite les termes semblables :
-6v² + 12v - 3v + 6 = -6v² + (12v - 3v) + 6 = -6v² + 9v + 6
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D) Développer D = (2 + m)(3m - 4)
Il est commode de réécrire (2 + m) en (m + 2) ; la multiplication
devient :
1. m × 3m = 3m²
2. m × (-4) = -4m
3. 2 × 3m = 6m
4. 2 × (-4) = -8
En combinant les termes en m :
3m² - 4m + 6m - 8 = 3m² + (6m - 4m) - 8 = 3m² + 2m - 8
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E) Développer E = (4z - 1)(z + 6)
Effectuons la multiplication :
1. 4z × z = 4z²
2. 4z × 6 = 24z
3. (-1) × z = -z
4. (-1) × 6 = -6
Additionnons les termes semblables :
4z² + 24z - z - 6 = 4z² + (24z - z) - 6 = 4z² + 23z - 6
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F) Développer F = (-2x + 5)(3x - 1)
On multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du
deuxième :
1. (-2x) × 3x = -6x²
2. (-2x) × (-1) = 2x
3. 5 × 3x = 15x
4. 5 × (-1) = -5
Additionnons les termes en x :
-6x² + 2x + 15x - 5 = -6x² + (2x + 15x) - 5 = -6x² + 17x - 5
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G) Développer G = (2x + 3)(-x + 4) + (3x - 1)(2x + 5)
D’abord, développons chaque parenthèse séparément.
Première expression (2x + 3)(-x + 4) :
1. 2x × (-x) = -2x²
2. 2x × 4 = 8x
3. 3 × (-x) = -3x
4. 3 × 4 = 12
Ainsi, (2x + 3)(-x + 4) = -2x² + 8x - 3x + 12 = -2x² + 5x + 12
Deuxième expression (3x - 1)(2x + 5) :
1. 3x × 2x = 6x²
2. 3x × 5 = 15x
3. (-1) × 2x = -2x
4. (-1) × 5 = -5
Donc, (3x - 1)(2x + 5) = 6x² + 15x - 2x - 5 = 6x² + 13x - 5
Ensuite, additionnons les deux résultats :
(-2x² + 5x + 12) + (6x² + 13x - 5) = (-2x² + 6x²) + (5x + 13x) + (12 -
5)
= 4x² + 18x + 7
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H) Développer H = 5x² - (2x - 4)
Il faut faire attention au signe moins qui change les deux termes à
l’intérieur de la parenthèse :
5x² - (2x - 4) = 5x² - 2x + 4
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K) Développer K = (7x - 3)(-x + 2)
Multiplions les termes un à un :
1. 7x × (-x) = -7x²
2. 7x × 2 = 14x
3. (-3) × (-x) = 3x
4. (-3) × 2 = -6
En regroupant les termes :
-7x² + 14x + 3x - 6 = -7x² + (14x + 3x) - 6 = -7x² + 17x - 6
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L) Développer L = (x - 4)(5x + 2)
Appliquons la distributivité :
1. x × 5x = 5x²
2. x × 2 = 2x
3. (-4) × 5x = -20x
4. (-4) × 2 = -8
Additionnons les termes semblables :
5x² + 2x - 20x - 8 = 5x² + (2x - 20x) - 8 = 5x² - 18x - 8
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Récapitulatif des résultats :
Chaque expression a été développée et réduite de manière détaillée.