Exercice 37

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

1. \(100 w^{2} + 10 w t + \dfrac{1}{4} t^{2}\)

2. \(x^{2} + 5 x - 50\)

3. \(-64 + x^{2}\)

4. \(x^{2} - 25\)

5. \(x^{2} - 9 x - 22\)

6. \(9 x^{4} + \dfrac{1}{16} y^{2} - \dfrac{3}{2} x^{2} y\)

Réponse

Résumé des factorisations :

1. \[100w^{2} + 10wt + \dfrac{1}{4}t^{2} = \left(10w + \dfrac{1}{2}t\right)^{2}\]
2. \[x^{2} + 5x - 50 = (x + 10)(x - 5)\]
3. \[-64 + x^{2} = (x + 8)(x - 8)\]
4. \[x^{2} - 25 = (x + 5)(x - 5)\]
5. \[x^{2} - 9x - 22 = (x - 11)(x + 2)\]
6. \[9x^{4} + \dfrac{1}{16}y^{2} - \dfrac{3}{2}x^{2}y = \left(3x^{2} - \dfrac{1}{4}y\right)^{2}\]

Toutes les expressions ont été factorisées en utilisant les produits remarquables ou en identifiant les termes appropriés pour la factorisation.

Corrigé détaillé

Corrections détaillées des exercices de factorisation

Exercice 1

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

\[100 w^{2} + 10 w t + \dfrac{1}{4} t^{2}\]

Correction

Pour factoriser cette expression, nous allons reconnaître un carré parfait. Observons chaque terme :

1. Le premier terme est \(100w^{2}\), qui est le carré de \(10w\) car \((10w)^{2} = 100w^{2}\).
2. Le dernier terme est \(\dfrac{1}{4}t^{2}\), qui est le carré de \(\dfrac{1}{2}t\) car \(\left(\dfrac{1}{2}t\right)^{2} = \dfrac{1}{4}t^{2}\).
3. Le terme central est \(10wt\), qui est le double produit de \(10w\) et \(\dfrac{1}{2}t\) car \(2 \times 10w \times \dfrac{1}{2}t = 10wt\).

Ainsi, l’expression est de la forme \(a^{2} + 2ab + b^{2}\), qui se factorise en \((a + b)^{2}\).

En appliquant cela :

\[ 100 w^{2} + 10 w t + \dfrac{1}{4} t^{2} = \left(10w + \dfrac{1}{2}t\right)^{2} \]

Exercice 2

Factoriser :

\[x^{2} + 5x - 50\]

Correction

Nous cherchons deux nombres dont :

• Le produit est égal à \(-50\) (le terme constant).
• La somme est égale à \(5\) (le coefficient de \(x\)).

Cherchons ces nombres :

• \(10\) et \(-5\) : \(10 \times (-5) = -50\) et \(10 + (-5) = 5\).

Ainsi, nous pouvons écrire :

\[ x^{2} + 5x - 50 = (x + 10)(x - 5) \]

Exercice 3

Factoriser :

\[-64 + x^{2}\]

Correction

Réarrangeons les termes :

\[ x^{2} - 64 \]

Cette expression est une différence de carrés, car \(x^{2}\) est le carré de \(x\) et \(64\) est le carré de \(8\).

La différence de carrés se factorise ainsi :

\[ x^{2} - 8^{2} = (x + 8)(x - 8) \]

Donc,

\[ -64 + x^{2} = (x + 8)(x - 8) \]

Exercice 4

Factoriser :

\[x^{2} - 25\]

Correction

L’expression est une différence de carrés, car \(x^{2}\) est le carré de \(x\) et \(25\) est le carré de \(5\).

Ainsi, on a :

\[ x^{2} - 5^{2} = (x + 5)(x - 5) \]

Donc,

\[ x^{2} - 25 = (x + 5)(x - 5) \]

Exercice 5

Factoriser :

\[x^{2} - 9x - 22\]

Correction

Nous cherchons deux nombres dont :

• Le produit est égal à \(-22\) (le terme constant).
• La somme est égale à \(-9\) (le coefficient de \(x\)).

Cherchons ces nombres :

• \(-11\) et \(2\) : \(-11 \times 2 = -22\) et \(-11 + 2 = -9\).

Ainsi, nous pouvons écrire :

\[ x^{2} - 9x - 22 = (x - 11)(x + 2) \]

Exercice 6

Factoriser :

\[9x^{4} + \dfrac{1}{16}y^{2} - \dfrac{3}{2}x^{2}y\]

Correction

Regardons les termes de l’expression :

• \(9x^{4}\) est le carré de \(3x^{2}\).
• \(\dfrac{1}{16}y^{2}\) est le carré de \(\dfrac{1}{4}y\).
• \(-\dfrac{3}{2}x^{2}y\) est le double produit de \(3x^{2}\) et \(-\dfrac{1}{4}y\).

L’expression correspond donc à un carré parfait de la forme \(a^{2} + 2ab + b^{2}\), où :

\[ a = 3x^{2} \quad \text{et} \quad b = -\dfrac{1}{4}y \]

Ainsi, l’expression se factorise comme suit :

\[ 9x^{4} + \dfrac{1}{16}y^{2} - \dfrac{3}{2}x^{2}y = \left(3x^{2} - \dfrac{1}{4}y\right)^{2} \]

Résumé des factorisations

1. \[100 w^{2} + 10 w t + \dfrac{1}{4} t^{2} = \left(10w + \dfrac{1}{2}t\right)^{2}\]
2. \[x^{2} + 5x - 50 = (x + 10)(x - 5)\]
3. \[-64 + x^{2} = (x + 8)(x - 8)\]
4. \[x^{2} - 25 = (x + 5)(x - 5)\]
5. \[x^{2} - 9x - 22 = (x - 11)(x + 2)\]
6. \[9x^{4} + \dfrac{1}{16}y^{2} - \dfrac{3}{2}x^{2}y = \left(3x^{2} - \dfrac{1}{4}y\right)^{2}\]

Conclusion

Toutes les expressions ont été factorisées en utilisant les produits remarquables ou la méthode de recherche des facteurs. Il est important de reconnaître les formes spécifiques (comme les carrés parfaits ou les différences de carrés) pour factoriser efficacement.