Exercice 36

Factorisez à l’aide des produits remarquables :

1. \(4x^{2} - 9\)
   
2. \(\dfrac{1}{4} - w^{2}\)
   
3. \(w^{2} - \dfrac{1}{4}\)
   
4. \(25x^{2} - 8^{2}\)
   
5. \(121 + x^{4}\)
   
6. \(x^{16} - 16\)

Réponse

Résumé des factorisations :

1. \(4x^{2} - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\)
2. \(\dfrac{1}{4} - w^{2} = \left(\dfrac{1}{2} - w\right)\left(\dfrac{1}{2} + w\right)\)
3. \(w^{2} - \dfrac{1}{4} = \left(w - \dfrac{1}{2}\right)\left(w + \dfrac{1}{2}\right)\)
4. \(25x^{2} - 64 = (5x - 8)(5x + 8)\)
5. \(121 + x^{4}\) ne peut pas être factorisé avec les produits remarquables.
6. \(x^{16} - 16 = (x^{8} - 4)(x^{8} + 4) = (x^{4} - 2)(x^{4} + 2)(x^{8} + 4)\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices sur la factorisation à l’aide des produits remarquables

1) \(4x^{2} - 9\)

Cette expression est une différence de deux carrés. Rappelons que : \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \] Pour factoriser \(4x^{2} - 9\), identifions \(a\) et \(b\) : \[ 4x^{2} = (2x)^{2} \quad \text{et} \quad 9 = 3^{2} \] Appliquons la formule : \[ 4x^{2} - 9 = (2x - 3)(2x + 3) \]

2) \(\dfrac{1}{4} - w^{2}\)

Ici, nous avons également une différence de deux carrés. Identifions \(a\) et \(b\) : \[ \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \quad \text{et} \quad w^{2} = w^{2} \] Appliquons la formule : \[ \dfrac{1}{4} - w^{2} = \left(\dfrac{1}{2} - w\right)\left(\dfrac{1}{2} + w\right) \]

3) \(w^{2} - \dfrac{1}{4}\)

Cette expression est similaire à la précédente, c’est une différence de deux carrés. Identifions \(a\) et \(b\) : \[ w^{2} = w^{2} \quad \text{et} \quad \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \] Appliquons la formule : \[ w^{2} - \dfrac{1}{4} = \left(w - \dfrac{1}{2}\right)\left(w + \dfrac{1}{2}\right) \]

4) \(25x^{2} - 8^{2}\)

Encore une différence de deux carrés. Identifions \(a\) et \(b\) : \[ 25x^{2} = (5x)^{2} \quad \text{et} \quad 8^{2} = 64 \] Appliquons la formule : \[ 25x^{2} - 64 = (5x - 8)(5x + 8) \]

5) \(121 + x^{4}\)

Cette expression est une somme de deux carrés. Cependant, contrairement à la différence de carrés, la somme de deux carrés ne peut pas être factorisée directement en utilisant les produits remarquables standards.

On peut reconnaître que : \[ 121 = 11^{2} \quad \text{et} \quad x^{4} = (x^{2})^{2} \] Mais la somme \(121 + x^{4}\) ne se factorise pas en produits de polynômes à coefficients réels.

Conclusion : L’expression \(121 + x^{4}\) ne peut pas être factorisée en utilisant les produits remarquables.

6) \(x^{16} - 16\)

Cette expression est une différence de deux carrés. Identifions \(a\) et \(b\) : \[ x^{16} = (x^{8})^{2} \quad \text{et} \quad 16 = 4^{2} \] Appliquons la formule : \[ x^{16} - 16 = (x^{8} - 4)(x^{8} + 4) \] Nous pouvons continuer à factoriser \(x^{8} - 4\) car c’est aussi une différence de deux carrés : \[ x^{8} - 4 = (x^{4})^{2} - 2^{2} = (x^{4} - 2)(x^{4} + 2) \] Ainsi, la factorisation complète est : \[ x^{16} - 16 = (x^{8} - 4)(x^{8} + 4) = (x^{4} - 2)(x^{4} + 2)(x^{8} + 4) \] Pour un niveau collège, cette factorisation est suffisante.