Factorisez à l’aide des produits remarquables :
\(a^{2} - 1\)
\(169 - b^{2}\)
\(a^{6} - 4\)
\(a^{2}b^{2} + 1\)
\(x^{4} - 25\)
\(-144 + b^{8}\)
Résumé des corrections :
\[ a^{2} - 1 \]
Correction :
Nous reconnaissons que \(a^{2} - 1\) est une différence de carrés. La différence de deux carrés s’exprime sous la forme : \[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Dans notre cas : - \(A = a\) - \(B = 1\)
Ainsi, \[ a^{2} - 1 = (a - 1)(a + 1) \]
Facteurisation : \[ a^{2} - 1 = (a - 1)(a + 1) \]
\[ 169 - b^{2} \]
Correction :
Nous constatons que \(169\) est un carré parfait puisque \(13^{2} = 169\). Donc, \(169 - b^{2}\) est une différence de carrés.
La différence de deux carrés s’exprime sous la forme : \[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Dans notre cas : - \(A = 13\) - \(B = b\)
Ainsi, \[ 169 - b^{2} = (13 - b)(13 + b) \]
Facteurisation : \[ 169 - b^{2} = (13 - b)(13 + b) \]
\[ a^{6} - 4 \]
Correction :
Nous remarquons que \(a^{6}\) peut être écrit comme \((a^{3})^{2}\) et \(4\) comme \(2^{2}\). Ainsi, l’expression \(a^{6} - 4\) est une différence de carrés.
La différence de deux carrés s’exprime sous la forme : \[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Dans notre cas : - \(A = a^{3}\) - \(B = 2\)
Ainsi, \[ a^{6} - 4 = (a^{3} - 2)(a^{3} + 2) \]
Factorisation : \[ a^{6} - 4 = (a^{3} - 2)(a^{3} + 2) \]
\[ a^{2}b^{2} + 1 \]
Correction :
L’expression \(a^{2}b^{2} + 1\) est une somme de deux termes, mais elle ne correspond pas directement à un produit remarquable standard comme une somme de carrés ou une différence de carrés. Cependant, nous pouvons la réécrire en reconnaissant qu’elle n’est pas factorisable dans les nombres réels.
Conclusion :
L’expression \(a^{2}b^{2} + 1\) ne peut pas être factorisée davantage à l’aide des produits remarquables connus.
\[ x^{4} - 25 \]
Correction :
Tout d’abord, remarquons que \(x^{4} = (x^{2})^{2}\) et \(25 = 5^{2}\). Ainsi, l’expression \(x^{4} - 25\) est une différence de carrés.
Appliquons la formule : \[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Ici : - \(A = x^{2}\) - \(B = 5\)
Donc, \[ x^{4} - 25 = (x^{2} - 5)(x^{2} + 5) \]
Factorisation : \[ x^{4} - 25 = (x^{2} - 5)(x^{2} + 5) \]
Si on souhaite factoriser davantage, \(x^{2} - 5\) et \(x^{2} + 5\) ne sont plus factorisables avec des réels. Par conséquent, la factorisation s’arrête ici.
\[ -144 + b^{8} \]
Correction :
Réorganisons l’expression pour faciliter la factorisation : \[ b^{8} - 144 \]
Observons que \(b^{8} = (b^{4})^{2}\) et \(144 = 12^{2}\). Donc, \(b^{8} - 144\) est une différence de carrés.
Appliquons la formule : \[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Ici : - \(A = b^{4}\) - \(B = 12\)
Ainsi, \[ b^{8} - 144 = (b^{4} - 12)(b^{4} + 12) \]
Examinons maintenant \(b^{4} - 12\) et \(b^{4} + 12\). Ces expressions ne sont pas des carrés parfaits et ne peuvent pas être factorisées davantage avec les réels.
Factorisation finale : \[ -144 + b^{8} = (b^{4} - 12)(b^{4} + 12) \]