Factorisez les expressions suivantes à l’aide des produits remarquables :
\(4a^{2} - 4ab + b^{2}\)
\(9a^{2} + 12ab + b^{2}\)
\(a^{4} + b^{2} - 2a^{2}b\)
\(a^{2} + 2ab^{3} + b^{6}\)
\(9x^{2} - 12xy + 4y^{2}\)
\(4x^{2} + 25y^{2} + 20xy\)
Résumé des factorisations :
Nous allons factoriser chaque expression en utilisant les propriétés des produits remarquables. Suivez les étapes ci-dessous pour comprendre le processus.
Étape 1 : Identifier la forme
L’expression ressemble à celle du carré d’un binôme, \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\).
Étape 2 : Comparer avec le produit remarquable
Comparons : \[ 4a^{2} - 4ab + b^{2} \] avec \[ x^2 - 2xy + y^2 \]
On identifie : \[ x = 2a \] \[ y = b \]
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable
Ainsi : \[ 4a^{2} - 4ab + b^{2} = (2a - b)^2 \]
Réponse : \[ 4a^{2} - 4ab + b^{2} = (2a - b)^2 \]
Étape 1 : Identifier la forme
Cette expression correspond également au carré d’un binôme, \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).
Étape 2 : Comparer avec le produit remarquable
Comparons : \[ 9a^{2} + 12ab + b^{2} \] avec \[ x^2 + 2xy + y^2 \]
On identifie : \[ x = 3a \] \[ y = b \]
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable
Ainsi : \[ 9a^{2} + 12ab + b^{2} = (3a + b)^2 \]
Réponse : \[ 9a^{2} + 12ab + b^{2} = (3a + b)^2 \]
Étape 1 : Réarranger l’expression
Réécrivons l’expression pour la mettre en évidence : \[ a^{4} - 2a^{2}b + b^{2} \]
Étape 2 : Identifier la forme
Cette expression est du type \(x^2 - 2xy + y^2\), qui est un carré parfait.
Étape 3 : Définir \(x\) et \(y\)
On prend : \[ x = a^{2} \] \[ y = b \]
Étape 4 : Appliquer le produit remarquable
Ainsi : \[ a^{4} - 2a^{2}b + b^{2} = (a^{2} - b)^2 \]
Réponse : \[ a^{4} + b^{2} - 2a^{2}b = (a^{2} - b)^2 \]
Étape 1 : Identifier la forme
Cette expression ressemble au carré d’un binôme, \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).
Étape 2 : Comparer avec le produit remarquable
Comparons : \[ a^{2} + 2ab^{3} + b^{6} \] avec \[ x^2 + 2xy + y^2 \]
On identifie : \[ x = a \] \[ y = b^{3} \]
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable
Ainsi : \[ a^{2} + 2ab^{3} + b^{6} = (a + b^{3})^2 \]
Réponse : \[ a^{2} + 2ab^{3} + b^{6} = (a + b^{3})^2 \]
Étape 1 : Identifier la forme
L’expression correspond au carré d’un binôme, \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\).
Étape 2 : Comparer avec le produit remarquable
Comparons : \[ 9x^{2} - 12xy + 4y^{2} \] avec \[ x^2 - 2xy + y^2 \]
On identifie : \[ x = 3x \] \[ y = 2y \]
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable
Ainsi : \[ 9x^{2} - 12xy + 4y^{2} = (3x - 2y)^2 \]
Réponse : \[ 9x^{2} - 12xy + 4y^{2} = (3x - 2y)^2 \]
Étape 1 : Identifier la forme
Cette expression ressemble à celle du carré d’un binôme, mais avec les termes dans un ordre différent : \[ 4x^{2} + 20xy + 25y^{2} \]
Étape 2 : Réarranger les termes
Réarrangeons pour faciliter l’identification : \[ 4x^{2} + 20xy + 25y^{2} \]
Étape 3 : Comparer avec le produit remarquable
Comparons avec : \[ (ax + by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 \]
On identifie : \[ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \] \[ b^2 = 25 \Rightarrow b = 5 \] \[ 2ab = 20 \Rightarrow 2 \times 2 \times 5 = 20 \]
Étape 4 : Appliquer le produit remarquable
Ainsi : \[ 4x^{2} + 20xy + 25y^{2} = (2x + 5y)^2 \]
Réponse : \[ 4x^{2} + 25y^{2} + 20xy = (2x + 5y)^2 \]
En suivant ces étapes, vous pouvez factoriser des expressions similaires en identifiant les formes correspondantes aux produits remarquables et en appliquant les formules appropriées.