Effectuer les produits suivants
\[ 81a^{4} - 72a^{2} + 16 \]
\[ \frac{1}{81}x^{8} - y^{4} \]
\[ x^{8} + 4x^{4} - 5 \]
\[ 81a^{4} - \frac{9}{2}a^{2}b^{2} + \frac{1}{16}b^{4} \]
\[ 81x^{4} - 270x^{2} - 216 \]
\[ 81a^{4} - 18a^{2} + 1 \]
Question : \[ (3a + 2) \cdot (3a - 2) \cdot \left(9a^{2} - 4\right) \]
Correction :
Pour effectuer ce produit, observons d’abord les expressions données.
Multiplication des deux premiers facteurs :
\[ (3a + 2) \cdot (3a - 2) \]
C’est une expression de la forme \((x + y)(x - y) = x^{2} - y^{2}\).
Appliquons cette formule :
\[ (3a)^{2} - (2)^{2} = 9a^{2} - 4 \]
Ainsi :
\[ (3a + 2) \cdot (3a - 2) = 9a^{2} - 4 \]
Multiplication du résultat avec le troisième facteur :
Maintenant, multiplions \(9a^{2} - 4\) par \(9a^{2} - 4\) :
\[ (9a^{2} - 4) \cdot (9a^{2} - 4) \]
Utilisons la formule \((x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2}\) :
\[ = (9a^{2})^{2} - 2 \cdot 9a^{2} \cdot 4 + 4^{2} \]
Calculons chaque terme :
\[ = 81a^{4} - 72a^{2} + 16 \]
Résultat final :
\[ (3a + 2) \cdot (3a - 2) \cdot \left(9a^{2} - 4\right) = 81a^{4} - 72a^{2} + 16 \]
Question : \[ \left(\frac{1}{3}x^{2} + y\right) \cdot \left(\frac{1}{9}x^{4} + y^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}x^{2} - y\right) \]
Correction :
Pour simplifier ce produit, procédons étape par étape.
Multiplication des premier et troisième facteurs :
\[ \left(\frac{1}{3}x^{2} + y\right) \cdot \left(\frac{1}{3}x^{2} - y\right) \]
C’est une expression de la forme \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\).
Appliquons la formule :
\[ \left(\frac{1}{3}x^{2}\right)^{2} - y^{2} = \frac{1}{9}x^{4} - y^{2} \]
Ainsi :
\[ \left(\frac{1}{3}x^{2} + y\right) \cdot \left(\frac{1}{3}x^{2} - y\right) = \frac{1}{9}x^{4} - y^{2} \]
Multiplication avec le deuxième facteur :
\[ \left(\frac{1}{9}x^{4} - y^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{9}x^{4} + y^{2}\right) \]
Encore une fois, c’est une différence de carrés \((a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}\).
Appliquons la formule :
\[ \left(\frac{1}{9}x^{4}\right)^{2} - (y^{2})^{2} = \frac{1}{81}x^{8} - y^{4} \]
Résultat final :
\[ \left(\frac{1}{3}x^{2} + y\right) \cdot \left(\frac{1}{9}x^{4} + y^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}x^{2} - y\right) = \frac{1}{81}x^{8} - y^{4} \]
Question : \[ (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot \left(x^{2} + 1\right) \cdot \left(x^{4} + 5\right) \]
Correction :
Pour effectuer ce produit, commençons par simplifier certaines expressions.
Multiplication des premier et deuxième facteurs :
\[ (x + 1) \cdot (x - 1) \]
C’est une différence de carrés \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\).
Appliquons la formule :
\[ x^{2} - 1 \]
Ainsi :
\[ (x + 1) \cdot (x - 1) = x^{2} - 1 \]
Multiplication avec le troisième facteur :
\[ (x^{2} - 1) \cdot (x^{2} + 1) \]
Encore une différence de carrés :
\[ (x^{2})^{2} - 1^{2} = x^{4} - 1 \]
Donc :
\[ (x^{2} - 1) \cdot (x^{2} + 1) = x^{4} - 1 \]
Multiplication avec le quatrième facteur :
\[ (x^{4} - 1) \cdot (x^{4} + 5) \]
Utilisons la distributivité :
\[ x^{4} \cdot x^{4} + x^{4} \cdot 5 - 1 \cdot x^{4} - 1 \cdot 5 \]
Calculons chaque terme :
\[ = x^{8} + 5x^{4} - x^{4} - 5 \]
Simplifions :
\[ = x^{8} + 4x^{4} - 5 \]
Résultat final :
\[ (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot \left(x^{2} + 1\right) \cdot \left(x^{4} + 5\right) = x^{8} + 4x^{4} - 5 \]
Question : \[ \left(3a + \frac{1}{2}b\right) \cdot \left(\frac{1}{2}b - 3a\right) \cdot \left(-9a^{2} + \frac{1}{4}b^{2}\right) \]
Correction :
Procédons par étapes pour simplifier ce produit.
Multiplication des premier et deuxième facteurs :
\[ \left(3a + \frac{1}{2}b\right) \cdot \left(\frac{1}{2}b - 3a\right) \]
Réarrangeons les termes :
\[ = (3a - 3a) + \left(\frac{1}{2}b - \frac{9}{2}ab\right) \]
En réalité, il est plus simple de reconnaître que c’est une différence de carrés sous une forme modifiée.
Observons :
\[ \left(3a + \frac{1}{2}b\right) \cdot \left(-3a + \frac{1}{2}b\right) = \left(\frac{1}{2}b\right)^{2} - (3a)^{2} \]
Donc :
\[ = \frac{1}{4}b^{2} - 9a^{2} \]
Ainsi :
\[ \left(3a + \frac{1}{2}b\right) \cdot \left(\frac{1}{2}b - 3a\right) = \frac{1}{4}b^{2} - 9a^{2} \]
Multiplication avec le troisième facteur :
\[ \left(\frac{1}{4}b^{2} - 9a^{2}\right) \cdot \left(-9a^{2} + \frac{1}{4}b^{2}\right) \]
Remarquons que les deux expressions sont identiques :
\[ \left(\frac{1}{4}b^{2} - 9a^{2}\right)^{2} \]
Utilisons la formule \((x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2}\) :
\[ = \left(\frac{1}{4}b^{2}\right)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{4}b^{2} \cdot 9a^{2} + (9a^{2})^{2} \]
Calculons chaque terme :
\[ = \frac{1}{16}b^{4} - \frac{18}{4}a^{2}b^{2} + 81a^{4} \]
Simplifions :
\[ = \frac{1}{16}b^{4} - \frac{9}{2}a^{2}b^{2} + 81a^{4} \]
Résultat final :
\[ \left(3a + \frac{1}{2}b\right) \cdot \left(\frac{1}{2}b - 3a\right) \cdot \left(-9a^{2} + \frac{1}{4}b^{2}\right) = 81a^{4} - \frac{9}{2}a^{2}b^{2} + \frac{1}{16}b^{4} \]
Question : \[ (3x - 6) \cdot (3x + 6) \cdot \left(9x^{2} + 6\right) \]
Correction :
Simplifions ce produit étape par étape.
Multiplication des premier et deuxième facteurs :
\[ (3x - 6) \cdot (3x + 6) \]
Factorisons par 3 :
\[ = 3(x - 2) \cdot 3(x + 2) = 9(x - 2)(x + 2) \]
Utilisons la différence de carrés :
\[ = 9(x^{2} - 4) \]
Multiplication avec le troisième facteur :
\[ 9(x^{2} - 4) \cdot (9x^{2} + 6) \]
Appliquons la distributivité :
\[ = 9x^{2}(9x^{2} + 6) - 36(9x^{2} + 6) \]
Calculons chaque terme :
\[ = 81x^{4} + 54x^{2} - 324x^{2} - 216 \]
Simplifions :
\[ = 81x^{4} - 270x^{2} - 216 \]
On peut factoriser par 9 :
\[ = 9(9x^{4} - 30x^{2} - 24) \]
Résultat final :
\[ (3x - 6) \cdot (3x + 6) \cdot \left(9x^{2} + 6\right) = 81x^{4} - 270x^{2} - 216 \]
Question : \[ (3a - 1) \cdot (3a - 1) \cdot (3a + 1) \cdot (3a + 1) \]
Correction :
Simplifions ce produit en reconnaissant les carrés.
Réécriture des facteurs :
\[ (3a - 1)^{2} \cdot (3a + 1)^{2} \]
Multiplication des deux carrés :
Utilisons la formule \((x - y)(x + y) = x^{2} - y^{2}\).
\[ (3a - 1)(3a + 1) = (3a)^{2} - (1)^{2} = 9a^{2} - 1 \]
Ainsi, le produit devient :
\[ (9a^{2} - 1)^{2} \]
Développement du carré :
Utilisons la formule \((x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2}\) :
\[ = (9a^{2})^{2} - 2 \cdot 9a^{2} \cdot 1 + 1^{2} \]
Calculons chaque terme :
\[ = 81a^{4} - 18a^{2} + 1 \]
Résultat final :
\[ (3a - 1) \cdot (3a - 1) \cdot (3a + 1) \cdot (3a + 1) = 81a^{4} - 18a^{2} + 1 \]