Exercice 32

Calculez les produits suivants :

1. \((x + a)(x - a)\left(x^{2} - a^{2}\right)\)
   
2. \((2a - 1)(2a + 1)\left(4a^{2} + 1\right)\)
   
3. \((x - 1)\left(x^{2} + 1\right)(x + 1)\)
   
4. \((x + 2)(x - 2)\left(x^{4} + 16\right)\left(x^{2} + 4\right)\)
   
5. \(\left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 1\right)\left(x^{4} - 8\right)\)
   
6. \(\left(4a^{4} + 3\right)\left(2a^{2} + 1\right)\left(2a^{2} - 1\right)\)

Réponse

Résumé des corrections :

1. \(x^{4} - 2x^{2}a^{2} + a^{4}\)

2. \(16a^{4} - 1\)

3. \(x^{4} - 1\)

4. \(x^{8} - 256\)

5. \(x^{8} - 9x^{4} + 8\)

6. \(16a^{8} + 8a^{4} - 3\)

Corrigé détaillé

Corrections des exercices de produits algébriques

1) \((x + a)(x - a)\left(x^{2} - a^{2}\right)\)

Étape 1 : Utiliser la formule de la différence de carrés

Premièrement, reconnaissons que \((x + a)(x - a)\) est une différence de carrés.

\[ (x + a)(x - a) = x^{2} - a^{2} \]

Étape 2 : Multiplier les deux expressions obtenues

Maintenant, multiplions le résultat par \(\left(x^{2} - a^{2}\right)\).

\[ (x^{2} - a^{2})(x^{2} - a^{2}) = (x^{2} - a^{2})^{2} \]

Étape 3 : Développer le carré

Développons le carré obtenu.

\[ (x^{2} - a^{2})^{2} = x^{4} - 2x^{2}a^{2} + a^{4} \]

Résultat final :

\[ x^{4} - 2x^{2}a^{2} + a^{4} \]

---

2) \((2a - 1)(2a + 1)\left(4a^{2} + 1\right)\)

Étape 1 : Utiliser la formule de la différence de carrés

Reconnaissons que \((2a - 1)(2a + 1)\) est une différence de carrés.

\[ (2a - 1)(2a + 1) = (2a)^{2} - (1)^{2} = 4a^{2} - 1 \]

Étape 2 : Multiplier les expressions obtenues

Multiplions maintenant par \(\left(4a^{2} + 1\right)\).

\[ (4a^{2} - 1)(4a^{2} + 1) \]

Étape 3 : Appliquer à nouveau la différence de carrés

\[ (4a^{2} - 1)(4a^{2} + 1) = (4a^{2})^{2} - (1)^{2} = 16a^{4} - 1 \]

Résultat final :

\[ 16a^{4} - 1 \]

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3) \((x - 1)\left(x^{2} + 1\right)(x + 1)\)

Étape 1 : Regrouper les binômes

Observons que \((x - 1)(x + 1)\) est une différence de carrés.

\[ (x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1 \]

Étape 2 : Multiplier par le troisième terme

Maintenant, multiplions par \(\left(x^{2} + 1\right)\).

\[ (x^{2} - 1)(x^{2} + 1) \]

Étape 3 : Appliquer la différence de carrés

\[ (x^{2} - 1)(x^{2} + 1) = (x^{2})^{2} - (1)^{2} = x^{4} - 1 \]

Résultat final :

\[ x^{4} - 1 \]

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4) \((x + 2)(x - 2)\left(x^{4} + 16\right)\left(x^{2} + 4\right)\)

Étape 1 : Appliquer la différence de carrés aux deux premiers termes

\[ (x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4 \]

Étape 2 : Multipler par les autres termes

Nous avons maintenant :

\[ (x^{2} - 4)\left(x^{4} + 16\right)\left(x^{2} + 4\right) \]

Étape 3 : Multipler \((x^{2} - 4)\) et \((x^{2} + 4)\)

\[ (x^{2} - 4)(x^{2} + 4) = x^{4} - 16 \]

Étape 4 : Multiplier par \((x^{4} + 16)\)

\[ (x^{4} - 16)(x^{4} + 16) = (x^{4})^{2} - (16)^{2} = x^{8} - 256 \]

Résultat final :

\[ x^{8} - 256 \]

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5) \(\left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 1\right)\left(x^{4} - 8\right)\)

Étape 1 : Multiplier les deux premiers termes

\[ \left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 1\right) = x^{4} - 1 \]

Étape 2 : Multiplier par le troisième terme

\[ (x^{4} - 1)(x^{4} - 8) \]

Étape 3 : Développer le produit

\[ x^{4} \cdot x^{4} = x^{8} \] \[ x^{4} \cdot (-8) = -8x^{4} \] \[ -1 \cdot x^{4} = -x^{4} \] \[ -1 \cdot (-8) = 8 \]

Étape 4 : Combiner les termes similaires

\[ x^{8} - 8x^{4} - x^{4} + 8 = x^{8} - 9x^{4} + 8 \]

Résultat final :

\[ x^{8} - 9x^{4} + 8 \]

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6) \(\left(4a^{4} + 3\right)\left(2a^{2} + 1\right)\left(2a^{2} - 1\right)\)

Étape 1 : Multiplier les deuxième et troisième termes

\[ \left(2a^{2} + 1\right)\left(2a^{2} - 1\right) = (2a^{2})^{2} - (1)^{2} = 4a^{4} - 1 \]

Étape 2 : Multiplier par le premier terme

\[ \left(4a^{4} + 3\right)\left(4a^{4} - 1\right) \]

Étape 3 : Développer le produit

\[ 4a^{4} \cdot 4a^{4} = 16a^{8} \] \[ 4a^{4} \cdot (-1) = -4a^{4} \] \[ 3 \cdot 4a^{4} = 12a^{4} \] \[ 3 \cdot (-1) = -3 \]

Étape 4 : Combiner les termes similaires

\[ 16a^{8} - 4a^{4} + 12a^{4} - 3 = 16a^{8} + 8a^{4} - 3 \]

Résultat final :

\[ 16a^{8} + 8a^{4} - 3 \]