Exercice 31

1. Développez l’expression : \(\left(4 a^{3} b - a^{2} b^{3}\right)^{2}\)

2. Développez l’expression : \(\left(2 x^{4} y - \frac{1}{2} x y^{4}\right)^{2}\)

3. Développez l’expression : \(\left(7 a^{3} - \frac{1}{7} a b^{3}\right)^{2}\)

4. Simplifiez le produit suivant : \(\left(12 a^{4} - 11 a b\right) \cdot \left(11 a b + 12 a^{4}\right)\)

5. Développez l’expression : \(\left(3 x^{4} y - 2 x y^{4}\right)^{2}\)

6. Développez l’expression : \(\left(a^{2} b - a b^{2}\right)^{2}\)

Réponse

1. (4a³b – a²b³)² = 16a⁶b² – 8a⁵b⁴ + a⁴b⁶
   
2. (2x⁴y – ½xy⁴)² = 4x⁸y² – 2x⁵y⁵ + ¼x²y⁸
   
3. (7a³ – 1/7ab³)² = 49a⁶ – 2a⁴b³ + (1/49)a²b⁶
   
4. (12a⁴ – 11ab)(11ab + 12a⁴) = 144a⁸ – 121a²b²
   
5. (3x⁴y – 2xy⁴)² = 9x⁸y² – 12x⁵y⁵ + 4x²y⁸
   
6. (a²b – ab²)² = a⁴b² – 2a³b³ + a²b⁴

Corrigé détaillé

On vous propose ci-dessous la correction détaillée de chaque exercice.

────────────────────────────── Exercice 1. Développer l’expression : (4 a³ b – a² b³)²

1. Rappel de la formule du carré d’une différence :   (α – β)² = α² – 2αβ + β²

2. Ici, on identifie :   α = 4 a³b et β = a²b³

3. Calcul de chaque terme :   • α² = (4 a³b)² = 4² · (a³)² · b² = 16 a^(3×2) b² = 16 a⁶b²
     • –2αβ = –2 · (4 a³b) · (a²b³) = –2 · 4 · a^(3+2) · b^(1+3) = –8 a⁵b⁴
     • β² = (a²b³)² = a^(2×2) · b^(3×2) = a⁴b⁶

4. Regroupement des résultats :   (4 a³b – a²b³)² = 16 a⁶b² – 8 a⁵b⁴ + a⁴b⁶

────────────────────────────── Exercice 2. Développer l’expression : (2 x⁴y – ½ x y⁴)²

1. On écrit de nouveau la formule :   (α – β)² = α² – 2αβ + β²

2. Identification :   α = 2 x⁴y et β = ½ x y⁴

3. Calcul de chaque terme :   • α² = (2 x⁴y)² = 2² · (x⁴)² · y² = 4 x^(4×2) y² = 4 x⁸y²
     • Pour –2αβ :    Calcul préliminaire : (2 x⁴y) · (½ x y⁴) = 2×½ · x^(4+1) · y^(1+4) = 1 · x⁵y⁵
      Donc : –2αβ = –2 x⁵y⁵
     • β² = (½ x y⁴)² = (½)² · x² · (y⁴)² = ¼ x²y⁸

4. Conclusion :   (2 x⁴y – ½ x y⁴)² = 4 x⁸y² – 2 x⁵y⁵ + ¼ x²y⁸

────────────────────────────── Exercice 3. Développer l’expression : (7 a³ – 1/7 a b³)²

1. On utilise encore : (α – β)² = α² – 2αβ + β²

2. Identification :   α = 7 a³ et β = (1/7) a b³

3. Calcul de chaque terme :   • α² = (7 a³)² = 49 a⁶
     • –2αβ = –2 × (7 a³) × ((1/7) a b³)
      On remarque que 7 et 1/7 se simplifient : 7 × (1/7) = 1
      Donc : –2 a^(3+1) b³ = –2 a⁴b³
     • β² = ((1/7) a b³)² = (1/7)² (a)² (b³)² = 1/49 a²b⁶

4. Conclusion :   (7 a³ – 1/7 a b³)² = 49 a⁶ – 2 a⁴b³ + (1/49) a²b⁶

────────────────────────────── Exercice 4. Simplifier le produit : (12 a⁴ – 11 a b) · (11 a b + 12 a⁴)

1. On remarque que les deux facteurs sont écrits dans un ordre inverse. On peut remarquer la forme :   (α – β)(β + α) = (α – β)(α + β)   et il est connu que (α + β)(α – β) = α² – β²

2. Identification :   α = 12 a⁴ et β = 11 a b

3. Calcul :   • α² = (12 a⁴)² = 144 a⁸
     • β² = (11 a b)² = 121 a²b²

4. Donc :   (12 a⁴ – 11 a b)(11 a b + 12 a⁴) = 144 a⁸ – 121 a²b²

────────────────────────────── Exercice 5. Développer l’expression : (3 x⁴y – 2 x y⁴)²

1. Application de la formule (α – β)² = α² – 2αβ + β²

2. Identification :   α = 3 x⁴y et β = 2 x y⁴

3. Calcul de chaque terme :   • α² = (3 x⁴y)² = 9 x⁸y²
     • –2αβ = –2 × (3 x⁴y) × (2 x y⁴) = –2 × 6 x^(4+1) y^(1+4) = –12 x⁵y⁵
     • β² = (2 x y⁴)² = 4 x²y⁸

4. Récapitulation :   (3 x⁴y – 2 x y⁴)² = 9 x⁸y² – 12 x⁵y⁵ + 4 x²y⁸

────────────────────────────── Exercice 6. Développer l’expression : (a²b – a b²)²

1. Utilisation de la formule :   (α – β)² = α² – 2αβ + β²

2. Identification :   α = a²b et β = a b²

3. Calcul de chaque terme :   • α² = (a²b)² = a^(2×2) b² = a⁴b²
     • –2αβ = –2 × (a²b) × (a b²) = –2 a^(2+1) b^(1+2) = –2 a³b³
     • β² = (a b²)² = a²b⁴

4. Conclusion :   (a²b – a b²)² = a⁴b² – 2 a³b³ + a²b⁴

────────────────────────────── Ainsi, voici le développement et la simplification de chacune des expressions proposées.