Réponses finales :
Exercice 7 : \[ (3x^{4}y - yx^{4})^{2} = 4x^{8}y^{2} \]
Exercice 8 : \[ (7a^{2}b - 2a^{2}b^{3})^{2} = 49a^{4}b^{2} - 28a^{4}b^{4} + 4a^{4}b^{6} \]
Exercice 9 : \[ (3a^{3} - 2a^{2})^{2} = 9a^{6} - 12a^{5} + 4a^{4} \]
Exercice 10 : \[ (4abc - 7ab)^{2} = 16a^{2}b^{2}c^{2} - 56a^{2}b^{2}c + 49a^{2}b^{2} \]
Exercice 11 : \[ (2ax - 7bx)^{2} = 4a^{2}x^{2} - 28abx^{2} + 49b^{2}x^{2} \]
Exercice 12 : \[ (3a^{2} + b^{2})^{2} = 9a^{4} + 6a^{2}b^{2} + b^{4} \]
Question 7) \(\left(3x^{4}y - yx^{4}\right)^{2}\)
Étape 1 : Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses
Observons que \(3x^{4}y\) et \(-yx^{4}\) sont des termes semblables car ils contiennent les mêmes variables avec les mêmes exposants.
\[ 3x^{4}y - yx^{4} = (3 - 1)x^{4}y = 2x^{4}y \]
Étape 2 : Élever le résultat au carré
Maintenant, nous avons \((2x^{4}y)^{2}\). Pour élever un produit au carré, on élève chaque facteur au carré.
\[ (2x^{4}y)^{2} = 2^{2} \cdot (x^{4})^{2} \cdot y^{2} = 4x^{8}y^{2} \]
Réponse finale :
\[ \left(3x^{4}y - yx^{4}\right)^{2} = 4x^{8}y^{2} \]
Question 8) \(\left(7a^{2}b - 2a^{2}b^{3}\right)^{2}\)
Étape 1 : Identifier les termes semblables
Les termes \(7a^{2}b\) et \(-2a^{2}b^{3}\) ne sont pas semblables car les puissances de \(b\) diffèrent.
Étape 2 : Utiliser la formule \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\)
Posons \(A = 7a^{2}b\) et \(B = 2a^{2}b^{3}\). Appliquons la formule :
\[ (7a^{2}b - 2a^{2}b^{3})^{2} = (7a^{2}b)^{2} - 2 \cdot 7a^{2}b \cdot 2a^{2}b^{3} + (2a^{2}b^{3})^{2} \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Étape 4 : Assembler les termes
\[ 49a^{4}b^{2} - 28a^{4}b^{4} + 4a^{4}b^{6} \]
Réponse finale :
\[ \left(7a^{2}b - 2a^{2}b^{3}\right)^{2} = 49a^{4}b^{2} - 28a^{4}b^{4} + 4a^{4}b^{6} \]
Question 9) \(\left(3a^{3} - 2a^{2}\right)^{2}\)
Étape 1 : Utiliser la formule \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\)
Posons \(A = 3a^{3}\) et \(B = 2a^{2}\). Appliquons la formule :
\[ (3a^{3} - 2a^{2})^{2} = (3a^{3})^{2} - 2 \cdot 3a^{3} \cdot 2a^{2} + (2a^{2})^{2} \]
Étape 2 : Calculer chaque terme
Étape 3 : Assembler les termes
\[ 9a^{6} - 12a^{5} + 4a^{4} \]
Réponse finale :
\[ \left(3a^{3} - 2a^{2}\right)^{2} = 9a^{6} - 12a^{5} + 4a^{4} \]
Question 10) \((4abc - 7ab)^{2}\)
Étape 1 : Utiliser la formule \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\)
Posons \(A = 4abc\) et \(B = 7ab\). Appliquons la formule :
\[ (4abc - 7ab)^{2} = (4abc)^{2} - 2 \cdot 4abc \cdot 7ab + (7ab)^{2} \]
Étape 2 : Calculer chaque terme
Étape 3 : Assembler les termes
\[ 16a^{2}b^{2}c^{2} - 56a^{2}b^{2}c + 49a^{2}b^{2} \]
Réponse finale :
\[ (4abc - 7ab)^{2} = 16a^{2}b^{2}c^{2} - 56a^{2}b^{2}c + 49a^{2}b^{2} \]
Question 11) \((2ax - 7bx) \cdot (2ax - 7bx)\)
Étape 1 : Reconnaître que c’est un produit de deux binômes identiques
Nous avons \((2ax - 7bx) \times (2ax - 7bx)\), ce qui revient à \((2ax - 7bx)^2\).
Étape 2 : Utiliser la formule \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\)
Posons \(A = 2ax\) et \(B = 7bx\). Appliquons la formule :
\[ (2ax - 7bx)^{2} = (2ax)^{2} - 2 \cdot 2ax \cdot 7bx + (7bx)^{2} \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Étape 4 : Assembler les termes
\[ 4a^{2}x^{2} - 28abx^{2} + 49b^{2}x^{2} \]
Réponse finale :
\[ (2ax - 7bx) \cdot (2ax - 7bx) = 4a^{2}x^{2} - 28abx^{2} + 49b^{2}x^{2} \]
Question 12) \(\left(3a^{2} + b^{2}\right) \cdot \left(b^{2} + 3a^{2}\right)\)
Étape 1 : Reconnaître que les deux binômes sont identiques
Nous avons \((3a^{2} + b^{2}) \times (b^{2} + 3a^{2})\), qui peut être réécrit comme \((3a^{2} + b^{2})^2\).
Étape 2 : Utiliser la formule \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
Posons \(A = 3a^{2}\) et \(B = b^{2}\). Appliquons la formule :
\[ (3a^{2} + b^{2})^{2} = (3a^{2})^{2} + 2 \cdot 3a^{2} \cdot b^{2} + (b^{2})^{2} \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Étape 4 : Assembler les termes
\[ 9a^{4} + 6a^{2}b^{2} + b^{4} \]
Réponse finale :
\[ \left(3a^{2} + b^{2}\right) \cdot \left(b^{2} + 3a^{2}\right) = 9a^{4} + 6a^{2}b^{2} + b^{4} \]