Exercice 29

1. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(x^{2} + y^{2}\right) \cdot \left(x^{2} - y^{2}\right)\).

2. Développez le carré de la somme : \(\left(8 a^{2} - 3 b^{2}\right)^{2}\).

3. Calculez le carré de l’expression : \(\left(10 x^{2} + 1\right)^{2}\).

4. Développez le carré de la somme : \(\left(a^{5} + b^{5}\right)^{2}\).

5. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(3 x^{4} + 1\right) \cdot \left(3 x^{4} - 1\right)\).

6. Calculez le carré de la différence : \(\left(x^{4} - y^{4}\right)^{2}\).

Réponse

Réponses : 1. x⁴ − y⁴
2. 64a⁴ − 48a²b² + 9b⁴
3. 100x⁴ + 20x² + 1
4. a¹⁰ + 2a⁵b⁵ + b¹⁰
5. 9x⁸ − 1
6. x⁸ − 2x⁴y⁴ + y⁸

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de chaque question avec des explications détaillées :

─────────────────────
Exercice 1.
Simplifier l’expression : (x² + y²) · (x² − y²).

1. Observation : On reconnaît la formule du produit de deux conjugués qui dit que (A + B)(A − B) = A² − B².
2. Dans notre expression, on a A = x² et B = y².
3. Appliquons la formule : (x²)² − (y²)² = x⁴ − y⁴.

Réponse de l’exercice 1 : x⁴ − y⁴.

─────────────────────
Exercice 2.
Développer le carré de la somme : (8a² − 3b²)².

1. Pour développer un carré de somme ou différence, nous utilisons la formule : (U + V)² = U² + 2UV + V².
   Ici, U = 8a² et V = −3b² (on garde le signe de V dans le calcul).
2. Calculons chaque terme :
   • U² = (8a²)² = 64a⁴.
   • 2UV = 2 × 8a² × (−3b²) = −48a²b².
   • V² = (−3b²)² = 9b⁴.
3. En mettant ces résultats ensemble, nous obtenons :
   64a⁴ − 48a²b² + 9b⁴.

Réponse de l’exercice 2 : 64a⁴ − 48a²b² + 9b⁴.

─────────────────────
Exercice 3.
Calculer le carré de l’expression : (10x² + 1)².

1. On utilise la formule du carré d’une somme : (U + V)² = U² + 2UV + V², avec U = 10x² et V = 1.
2. Calcul des termes :
   • U² = (10x²)² = 100x⁴.
   • 2UV = 2 × 10x² × 1 = 20x².
   • V² = 1² = 1.
3. Additionnons les résultats :
   100x⁴ + 20x² + 1.

Réponse de l’exercice 3 : 100x⁴ + 20x² + 1.

─────────────────────
Exercice 4.
Développer le carré de la somme : (a⁵ + b⁵)².

1. Appliquons la formule du carré d’une somme : (U + V)² = U² + 2UV + V², ici U = a⁵ et V = b⁵.
2. Calcul des termes :
   • U² = (a⁵)² = a^(5×2) = a¹⁰.
   • 2UV = 2 × a⁵ × b⁵ = 2a⁵b⁵.
   • V² = (b⁵)² = b^(5×2) = b¹⁰.
3. Ainsi, nous trouvons :
   a¹⁰ + 2a⁵b⁵ + b¹⁰.

Réponse de l’exercice 4 : a¹⁰ + 2a⁵b⁵ + b¹⁰.

─────────────────────
Exercice 5.
Simplifier l’expression : (3x⁴ + 1) · (3x⁴ − 1).

1. Ici aussi, on reconnaît le produit de deux conjugués : (A + B)(A − B) = A² − B².
2. Avec A = 3x⁴ et B = 1.
3. Calculons A² et B² :
   • A² = (3x⁴)² = 9x⁸.
   • B² = 1² = 1.
4. La différence devient donc :
   9x⁸ − 1.

Réponse de l’exercice 5 : 9x⁸ − 1.

─────────────────────
Exercice 6.
Calculer le carré de la différence : (x⁴ − y⁴)².

1. On utilise la formule du carré d’une différence : (U − V)² = U² − 2UV + V², avec U = x⁴ et V = y⁴.
2. Calcul des termes :
   • U² = (x⁴)² = x^(4×2) = x⁸.
   • 2UV = 2 × x⁴ × y⁴ = 2x⁴y⁴.
   • V² = (y⁴)² = y^(4×2) = y⁸.
3. En tenant compte du signe, le développement est :
   x⁸ − 2x⁴y⁴ + y⁸.

Réponse de l’exercice 6 : x⁸ − 2x⁴y⁴ + y⁸.

─────────────────────
Récapitulatif des réponses :

1. x⁴ − y⁴
   
2. 64a⁴ − 48a²b² + 9b⁴
   
3. 100x⁴ + 20x² + 1
   
4. a¹⁰ + 2a⁵b⁵ + b¹⁰
   
5. 9x⁸ − 1
   
6. x⁸ − 2x⁴y⁴ + y⁸

Chaque étape a été soigneusement développée pour être compréhensible par un collégien. N’hésitez pas à revoir chaque partie si vous avez des questions !