Exercice 28

7. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\left(6 a^{3} - 4 b^{2}\right)^{2}\]

8. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\left(a^{5} + 1\right)^{2}\]

9. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\left(x^{3} + y^{3}\right) \cdot \left(x^{3} - y^{3}\right)\]

10. Simplifiez l’expression suivante :

\[\left(2 y^{2} + x\right)^{2}\]

11. Simplifiez l’expression suivante :

\[\left(6 x^{3} + 1\right) \cdot \left(6 x^{3} - 1\right)\]

12. Simplifiez l’expression suivante :

\[\left(x^{2} - 3 y^{3}\right)^{2}\]

Réponse

Récapitulatif : 7. (6a³ – 4b²)² = 36a⁶ – 48a³b² + 16b⁴
8. (a⁵ + 1)² = a¹⁰ + 2a⁵ + 1
9. (x³ + y³)(x³ – y³) = x⁶ – y⁶
10. (2y² + x)² = 4y⁴ + 4xy² + x²
11. (6x³ + 1)(6x³ – 1) = 36x⁶ – 1
12. (x² – 3y³)² = x⁴ – 6x²y³ + 9y⁶

Corrigé détaillé

Nous allons détailler la simplification de chacune des expressions.

────────────────────────────── Exercice 7. Simplifiez l’expression suivante :
  (6a³ – 4b²)²

1. Nous reconnaissons qu’il s’agit du carré d’une différence. La formule générale est :
     (A – B)² = A² – 2AB + B².

2. Ici, A = 6a³ et B = 4b².
     Calculons chaque terme :

  • A² = (6a³)² = 6² × (a³)² = 36a⁶
  • 2AB = 2 × (6a³) × (4b²) = 48a³b²
  • B² = (4b²)² = 4² × (b²)² = 16b⁴

3. En remplaçant dans la formule, on a :
     (6a³ – 4b²)² = 36a⁶ – 48a³b² + 16b⁴

────────────────────────────── Exercice 8. Simplifiez l’expression suivante :
  (a⁵ + 1)²

1. Ici, on a le carré d’une somme. La formule générale est :
     (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. On identifie : A = a⁵ et B = 1.
     Calculons chaque terme :

  • A² = (a⁵)² = a^(5×2) = a¹⁰
  • 2AB = 2 × a⁵ × 1 = 2a⁵
  • B² = 1² = 1

3. La mise en forme donne :
     (a⁵ + 1)² = a¹⁰ + 2a⁵ + 1

────────────────────────────── Exercice 9. Simplifiez l’expression suivante :
  (x³ + y³) · (x³ – y³)

1. On remarque ici un produit de deux expressions qui se ressemblent sauf le signe. Il s’agit d’une différence de carrés avec
     A = x³ et B = y³.
     La formule utilisée est :
     (A + B)(A – B) = A² – B².

2. Calculons :

  • A² = (x³)² = x^(3×2) = x⁶
  • B² = (y³)² = y^(3×2) = y⁶

3. Ainsi, on obtient :
     (x³ + y³)(x³ – y³) = x⁶ – y⁶

────────────────────────────── Exercice 10. Simplifiez l’expression suivante :
  (2y² + x)²

1. Il s’agit à nouveau du carré d’une somme. On utilise la formule :
     (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Ici, A = 2y² et B = x.
     Calculons chaque terme :

  • A² = (2y²)² = 4y⁴
  • 2AB = 2 × (2y²) × x = 4xy²
  • B² = x²

3. On a donc :
     (2y² + x)² = 4y⁴ + 4xy² + x²

────────────────────────────── Exercice 11. Simplifiez l’expression suivante :
  (6x³ + 1) · (6x³ – 1)

1. Ici, il s’agit d’un produit de deux binômes de la forme (A + B)(A – B), qui se simplifie en A² – B².

2. On identifie : A = 6x³ et B = 1.
     Calculons :

  • A² = (6x³)² = 36x⁶
  • B² = 1² = 1

3. Donc,
     (6x³ + 1)(6x³ – 1) = 36x⁶ – 1

────────────────────────────── Exercice 12. Simplifiez l’expression suivante :
  (x² – 3y³)²

1. Il s’agit encore du carré d’une différence. La formule est :
     (A – B)² = A² – 2AB + B².

2. Ici, A = x² et B = 3y³.
     Calculons chaque terme :

  • A² = (x²)² = x^(2×2) = x⁴
  • 2AB = 2 × x² × (3y³) = 6x²y³
  • B² = (3y³)² = 9y^(3×2) = 9y⁶

3. La mise en forme donne :
     (x² – 3y³)² = x⁴ – 6x²y³ + 9y⁶

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

7. (6a³ – 4b²)² = 36a⁶ – 48a³b² + 16b⁴
   
8. (a⁵ + 1)² = a¹⁰ + 2a⁵ + 1
   
9. (x³ + y³)(x³ – y³) = x⁶ – y⁶
   
10. (2y² + x)² = 4y⁴ + 4xy² + x²
    
11. (6x³ + 1)(6x³ – 1) = 36x⁶ – 1
    
12. (x² – 3y³)² = x⁴ – 6x²y³ + 9y⁶

Chaque étape a été réalisée en utilisant des formules classiques d’algèbre pour le développement d’un carré ou d’une différence de carrés. J’espère que cette explication détaillée vous aide à comprendre le processus de simplification !