Développez \((2a - b)^2\).
Développez \((a + 2b)^2\).
Développez \((3x - y)^2\).
Calculez le produit \((7a - 2b) \cdot (7a + 2b)\).
Calculez le produit \((3x - 4y) \cdot (3x + 4y)\).
Développez \((7w - v)^2\).
Voici la correction détaillée de chaque question :
────────────────────────────── Question 7. Développez (2a - b)²
Nous partons de l’identité célèbre : (u - v)² = u² - 2uv + v²
Ici, nous identifions u = 2a et v = b. Remplaçons dans la formule : (2a - b)² = (2a)² - 2 × (2a) × b + b²
Détaillons chaque terme : 1. (2a)² = 4a² (parce que 2² = 4) 2. -2 × (2a) × b = -4ab 3. b² reste b²
On obtient donc : (2a - b)² = 4a² - 4ab + b²
────────────────────────────── Question 8. Développez (a + 2b)²
Ici, on utilise l’identité : (u + v)² = u² + 2uv + v²
Pour ce problème, u = a et v = 2b. En remplaçant, on a : (a + 2b)² = a² + 2 × a × (2b) + (2b)²
Calculons les termes : 1. a² reste a² 2. 2 × a × (2b) = 4ab 3. (2b)² = 4b² (puisque 2² = 4)
On obtient : (a + 2b)² = a² + 4ab + 4b²
────────────────────────────── Question 9. Développez (3x - y)²
On reprend la formule pour le carré d’une différence : (u - v)² = u² - 2uv + v²
Ici, u = 3x et v = y. Substituons : (3x - y)² = (3x)² - 2 × (3x) × y + y²
Détaillons : 1. (3x)² = 9x² (puisque 3² = 9) 2. -2 × (3x) × y = -6xy 3. y² reste y²
Le résultat est : (3x - y)² = 9x² - 6xy + y²
────────────────────────────── Question 10. Calculez le produit (7a - 2b) · (7a + 2b)
On reconnaît ici la formule du produit d’une somme et d’une différence, qui est : (u - v)(u + v) = u² - v²
Prenons u = 7a et v = 2b. Ainsi, (7a - 2b)(7a + 2b) = (7a)² - (2b)²
Calculons les carrés : 1. (7a)² = 49a² (car 7² = 49) 2. (2b)² = 4b²
Donc, le produit devient : (7a - 2b)(7a + 2b) = 49a² - 4b²
────────────────────────────── Question 11. Calculez le produit (3x - 4y) · (3x + 4y)
De la même manière, nous utilisons la formule : (u - v)(u + v) = u² - v²
Ici, u = 3x et v = 4y. Nous avons donc : (3x - 4y)(3x + 4y) = (3x)² - (4y)²
Calcul : 1. (3x)² = 9x² (puisque 3² = 9) 2. (4y)² = 16y² (car 4² = 16)
Le résultat est : (3x - 4y)(3x + 4y) = 9x² - 16y²
────────────────────────────── Question 12. Développez (7w - v)²
Nous utilisons encore l’identité du carré d’une différence : (u - v)² = u² - 2uv + v²
Ici, u = 7w et v = v. En substituant, on a : (7w - v)² = (7w)² - 2 × (7w) × v + v²
Décomposons : 1. (7w)² = 49w² (puisque 7² = 49) 2. -2 × (7w) × v = -14wv 3. v² reste v²
Ainsi, le développement donne : (7w - v)² = 49w² - 14wv + v²
────────────────────────────── Récapitulatif des résultats :
Chaque étape utilise des formules fondamentales que vous pouvez appliquer dans de nombreux autres exercices pour développer ou factoriser des expressions algébriques.