Exercice 24

1. Développer l’expression \((x - 3)^{2}\).

2. Développer le produit \((a - 2b) \cdot (a + 2b)\).

3. Développer l’expression \((7x + 1)^{2}\).

4. Développer le produit \((2x - y) \cdot (2x + y)\).

5. Développer l’expression \((2y - 3)^{2}\).

6. Développer l’expression \((y + 5x)^{2}\).

Réponse

Réponses : 1) (x − 3)² = x² − 6x + 9
2) (a − 2b)(a + 2b) = a² − 4b²
3) (7x + 1)² = 49x² + 14x + 1
4) (2x − y)(2x + y) = 4x² − y²
5) (2y − 3)² = 4y² − 12y + 9
6) (y + 5x)² = y² + 10xy + 25x²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque question :

────────────────────────────── 1) Développer (x - 3)²

Pour développer (x - 3)², on utilise la formule du carré d’une différence :   (a - b)² = a² - 2ab + b²

Ici, a = x et b = 3. Ainsi :   (x - 3)² = x² - 2·x·3 + 3²
        = x² - 6x + 9

────────────────────────────── 2) Développer (a - 2b) · (a + 2b)

Il s’agit de multiplier deux binômes qui diffèrent par le signe du second terme. On utilise la formule :   (a - b)(a + b) = a² - b²

Ici, a reste a et b correspond à 2b. D’où :   (a - 2b)(a + 2b) = a² - (2b)²
            = a² - 4b²

────────────────────────────── 3) Développer (7x + 1)²

On utilise la formule du carré d’une somme :   (a + b)² = a² + 2ab + b²

Ici, a = 7x et b = 1. Donc :   (7x + 1)² = (7x)² + 2·(7x)·1 + 1²
        = 49x² + 14x + 1

────────────────────────────── 4) Développer (2x - y) · (2x + y)

De nouveau, on remarque la forme (a - b)(a + b) = a² - b² avec a = 2x et b = y. Ainsi :   (2x - y)(2x + y) = (2x)² - y²
         = 4x² - y²

────────────────────────────── 5) Développer (2y - 3)²

On applique la formule du carré d’une différence :   (a - b)² = a² - 2ab + b²

Ici, a = 2y et b = 3. On obtient :   (2y - 3)² = (2y)² - 2·(2y)·3 + 3²
        = 4y² - 12y + 9

────────────────────────────── 6) Développer (y + 5x)²

Il s’agit ici du carré d’une somme. On applique :   (a + b)² = a² + 2ab + b²

Cette fois, a = y et b = 5x. Alors :   (y + 5x)² = y² + 2·y·(5x) + (5x)²
        = y² + 10xy + 25x²

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. (x - 3)² = x² - 6x + 9
   
2. (a - 2b)(a + 2b) = a² - 4b²
   
3. (7x + 1)² = 49x² + 14x + 1
   
4. (2x - y)(2x + y) = 4x² - y²
   
5. (2y - 3)² = 4y² - 12y + 9
   
6. (y + 5x)² = y² + 10xy + 25x²

Chaque étape a été réalisée en appliquant les formules standards de développement pour les binômes carrés et pour le produit de deux binômes opposés.