Développez les expressions suivantes :
Résumé des Développements :
Chaque expression a été développée correctement selon les règles algébriques.
Étape 1 : Comprendre l’expression
L’expression \((x + 3)^{2}\) signifie \((x + 3) \times (x + 3)\).
Étape 2 : Appliquer la distributivité (FOIL)
On utilise la méthode FOIL (First, Outside, Inside, Last) pour développer :
\[ (x + 3)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
\[ x \cdot x = x^{2} \] \[ x \cdot 3 = 3x \] \[ 3 \cdot x = 3x \] \[ 3 \cdot 3 = 9 \]
Étape 4 : Combiner les termes similaires
\[ x^{2} + 3x + 3x + 9 = x^{2} + 6x + 9 \]
Réponse finale :
\[ (x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9 \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
Cette expression est du type \((a - b)(a + b)\), connue sous le nom de produit de deux binômes conjugués.
Étape 2 : Utiliser la formule de différence de carrés
\[ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} \]
Étape 3 : Appliquer la formule
Ici, \(a = x\) et \(b = 2\).
\[ (x - 2)(x + 2) = x^{2} - 2^{2} = x^{2} - 4 \]
Réponse finale :
\[ (x - 2)(x + 2) = x^{2} - 4 \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
L’expression \((3x + y)^{2}\) signifie \((3x + y) \times (3x + y)\).
Étape 2 : Appliquer la distributivité (FOIL)
\[ (3x + y)(3x + y) = 3x \cdot 3x + 3x \cdot y + y \cdot 3x + y \cdot y \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
\[ 3x \cdot 3x = 9x^{2} \] \[ 3x \cdot y = 3xy \] \[ y \cdot 3x = 3xy \] \[ y \cdot y = y^{2} \]
Étape 4 : Combiner les termes similaires
\[ 9x^{2} + 3xy + 3xy + y^{2} = 9x^{2} + 6xy + y^{2} \]
Réponse finale :
\[ (3x + y)^{2} = 9x^{2} + 6xy + y^{2} \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
Cette expression est également du type \((a - b)(a + b)\), ce qui est un produit de deux binômes conjugués.
Étape 2 : Utiliser la formule de différence de carrés
\[ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} \]
Étape 3 : Appliquer la formule
Ici, \(a = a\) et \(b = 3\).
\[ (a - 3)(a + 3) = a^{2} - 3^{2} = a^{2} - 9 \]
Réponse finale :
\[ (a - 3)(a + 3) = a^{2} - 9 \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
L’expression \((y + 5)^{2}\) signifie \((y + 5) \times (y + 5)\).
Étape 2 : Appliquer la distributivité (FOIL)
\[ (y + 5)(y + 5) = y \cdot y + y \cdot 5 + 5 \cdot y + 5 \cdot 5 \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
\[ y \cdot y = y^{2} \] \[ y \cdot 5 = 5y \] \[ 5 \cdot y = 5y \] \[ 5 \cdot 5 = 25 \]
Étape 4 : Combiner les termes similaires
\[ y^{2} + 5y + 5y + 25 = y^{2} + 10y + 25 \]
Réponse finale :
\[ (y + 5)^{2} = y^{2} + 10y + 25 \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
L’expression \((3 - y)^{2}\) signifie \((3 - y) \times (3 - y)\).
Étape 2 : Appliquer la distributivité (FOIL)
\[ (3 - y)(3 - y) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot (-y) + (-y) \cdot 3 + (-y) \cdot (-y) \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
\[ 3 \cdot 3 = 9 \] \[ 3 \cdot (-y) = -3y \] \[ (-y) \cdot 3 = -3y \] \[ (-y) \cdot (-y) = y^{2} \]
Étape 4 : Combiner les termes similaires
\[ 9 - 3y - 3y + y^{2} = y^{2} - 6y + 9 \]
Réponse finale :
\[ (3 - y)^{2} = y^{2} - 6y + 9 \]
Chaque expression a été développée en suivant les règles de l’algèbre de manière claire et structurée.