Calculez le produit de \(\left(\frac{1}{2} a + b\right)\) et \(\left(b - \frac{1}{2} a\right)\).
Calculez le produit de \(\left(0,1 x^{2} + y\right)\) et \(\left(-0,1 x^{2} + y\right)\).
Calculez le produit de \(\left(3 x^{2} + x y^{2}\right)\) et \(\left(3 x^{2} - x y^{2}\right)\).
Calculez le produit de \(\left(w^{2} + t\right)\) et \(\left(t - w^{2}\right)\).
Calculez le produit de \(\left(8 a^{3} + b\right)\) et \(\left(8 a^{3} - b\right)\).
Calculez le produit de \(\left(x^{4} + y^{6}\right)\) et \(\left(-y^{6} + x^{4}\right)\).
Réponses :
1) b² – ¼a²
2) y² – 0,01x⁴
3) 9x⁴ – x²y⁴
4) t² – w⁴
5) 64a⁶ – b²
6) x⁸ – y¹²
Nous allons calculer chacun des produits en remarquant que, dans
chaque cas, les parenthèses sont de la forme (A + B) et (B – A) ou (A +
B) et (A – B). En effet, le produit de deux expressions de la forme (A +
B) et (A – B) se simplifie grâce à la formule de la différence de deux
carrés :
(A + B)(A – B) = A² – B².
Nous verrons pour chaque exercice comment identifier A et B puis appliquer la formule.
────────────────────────────── Exercice 1) Produit : (½a + b) × (b – ½a)
• Identification : On peut poser A = ½a et B = b.
On remarque que (½a + b) = (A + B) et (b – ½a) = (B – A).
• Application de la formule : (A + B)(B – A) = B² – A²
= b² – (½a)²
= b² – ¼a².
La réponse est : b² – ¼a².
────────────────────────────── Exercice 2) Produit : (0,1x² + y) × (–0,1x² + y)
• Identification : On prend A = 0,1x² et B = y.
Ici, (0,1x² + y) = (A + B) et (–0,1x² + y) s’écrit aussi comme (B –
A).
• Application de la formule : (A + B)(B – A) = B² – A²
= y² – (0,1x²)²
= y² – 0,01x⁴
(car (0,1)² = 0,01).
La réponse est : y² – 0,01x⁴.
────────────────────────────── Exercice 3) Produit : (3x² + xy²) × (3x² – xy²)
• Identification : Ici, on peut poser A = 3x² et B = xy².
Les deux facteurs sont alors (A + B) et (A – B).
• Application de la formule : (A + B)(A – B) = A² – B²
= (3x²)² – (xy²)²
= 9x⁴ – x²y⁴.
La réponse est : 9x⁴ – x²y⁴.
────────────────────────────── Exercice 4) Produit : (w² + t) × (t – w²)
• Identification : On choisit A = w² et B = t.
Remarquons que (w² + t) = (A + B) et (t – w²) = (B – A).
• Application de la formule : (A + B)(B – A) = B² – A²
= t² – (w²)²
= t² – w⁴.
La réponse est : t² – w⁴.
────────────────────────────── Exercice 5) Produit : (8a³ + b) × (8a³ – b)
• Identification : Ici, A = 8a³ et B = b.
Les deux expressions s’écrivent (A + B) et (A – B).
• Application de la formule : (A + B)(A – B) = A² – B²
= (8a³)² – b²
= 64a⁶ – b².
La réponse est : 64a⁶ – b².
────────────────────────────── Exercice 6) Produit : (x⁴ + y⁶) × (–y⁶ + x⁴)
• Remarquez que l’addition étant commutative, (–y⁶ + x⁴) peut
s’écrire aussi (x⁴ – y⁶).
On choisit donc A = x⁴ et B = y⁶.
• Application de la formule : (A + B)(A – B) = A² – B²
= (x⁴)² – (y⁶)²
= x⁸ – y¹².
La réponse est : x⁸ – y¹².
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Chaque exercice a été résolu en reconnaissant la structure des différences de carrés. Ces étapes permettent de simplifier le calcul en réduisant le produit initial à une simple soustraction entre deux carrés.