Exercice 20

7. Développez \(\left(2x - y\right) \cdot \left(2x + y\right)\).

8. Développez \(\left(x - 4\right) \cdot \left(x + 4\right)\).

9. Développez \(\left(2u + 3\right) \cdot \left(2u - 3\right)\).

10. Développez \(\left(3v - 4t\right) \cdot \left(3v + 4t\right)\).

11. Développez \(\left(10x^{2} + y\right) \cdot \left(10x^{2} - y\right)\).

12. Développez \(\left(5z + 25\right) \cdot \left(5z - 25\right)\).

Réponse

Résumé très court :

En appliquant la formule (a – b)(a + b) = a² – b², on obtient : • Ex. 7 : 4x² – y²
• Ex. 8 : x² – 16
• Ex. 9 : 4u² – 9
• Ex. 10 : 9v² – 16t²
• Ex. 11 : 100x⁴ – y²
• Ex. 12 : 25z² – 625

Corrigé détaillé

Nous allons utiliser la formule de la différence de deux carrés qui s’énonce ainsi :
(a – b)(a + b) = a² – b².

Nous allons appliquer cette formule pour chacun des exercices.

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Exercice 7. Développez (2x – y) · (2x + y)

I. Identifier a et b :
• a = 2x
• b = y

2. Appliquer la formule :
   (2x – y)(2x + y) = (2x)² – y²

3. Calculer (2x)² :
   (2x)² = 4x²

4. Écrire le résultat :
   = 4x² – y²

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Exercice 8. Développez (x – 4) · (x + 4)

I. Identifier a et b :
• a = x
• b = 4

2. Appliquer la formule :
   (x – 4)(x + 4) = x² – 4²

3. Calculer 4² :
   4² = 16

4. Écrire le résultat :
   = x² – 16

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Exercice 9. Développez (2u + 3) · (2u – 3)

I. Identifier a et b :
• a = 2u
• b = 3

2. Appliquer la formule :
   (2u + 3)(2u – 3) = (2u)² – 3²

3. Calculer (2u)² et 3² :
   (2u)² = 4u²
   3² = 9

4. Écrire le résultat :
   = 4u² – 9

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Exercice 10. Développez (3v – 4t) · (3v + 4t)

I. Identifier a et b :
• a = 3v
• b = 4t

2. Appliquer la formule :
   (3v – 4t)(3v + 4t) = (3v)² – (4t)²

3. Calculer (3v)² et (4t)² :
   (3v)² = 9v²
   (4t)² = 16t²

4. Écrire le résultat :
   = 9v² – 16t²

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Exercice 11. Développez (10x² + y) · (10x² – y)

I. Identifier a et b :
• a = 10x²
• b = y

2. Appliquer la formule :
   (10x² + y)(10x² – y) = (10x²)² – y²

3. Calculer (10x²)² :
   (10x²)² = 100x⁴
   (car (10)² = 100 et (x²)² = x⁴)

4. Écrire le résultat :
   = 100x⁴ – y²

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Exercice 12. Développez (5z + 25) · (5z – 25)

I. Identifier a et b :
• a = 5z
• b = 25

2. Appliquer la formule :
   (5z + 25)(5z – 25) = (5z)² – (25)²

3. Calculer (5z)² et (25)² :
   (5z)² = 25z²
   (25)² = 625

4. Écrire le résultat :
   = 25z² – 625

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Récapitulatif des développements :

7. (2x – y)(2x + y) = 4x² – y²
   
8. (x – 4)(x + 4) = x² – 16
   
9. (2u + 3)(2u – 3) = 4u² – 9
   
10. (3v – 4t)(3v + 4t) = 9v² – 16t²
    
11. (10x² + y)(10x² – y) = 100x⁴ – y²
    
12. (5z + 25)(5z – 25) = 25z² – 625

Chaque exercice a été simplifié en utilisant la règle de la différence des carrés. Cette technique consiste à reconnaître les expressions sous forme (a + b)(a – b) et à les transformer directement en a² – b², ce qui simplifie grandement le calcul.