Développez \(\left(\frac{1}{3} u - 3 v\right)^{2}\).
Développez \(\left(\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} y^{2}\right)^{2}\).
Développez \(\left(0,3 a b - 10 b^{2}\right)^{2}\).
Développez \((12 a - 5) \cdot (12 a - 5)\).
Développez \(\left(\frac{1}{4} a^{2} - b\right) \cdot \left(-b + \frac{1}{4} a^{2}\right)\).
Développez \(\left(\frac{1}{16} x^{3} - 8 x y^{4}\right)^{2}\).
Nous allons développer chacun des produits en appliquant les formules usuelles, notamment celle du carré d’une différence qui s’écrit pour deux termes A et B :
(A – B)² = A² – 2AB + B².
▶ 1. Développez (⅓ u – 3 v)²
• Identifions A = ⅓ u et B = 3v. • Calcul de A² : (⅓ u)² = 1/9 u². • Calcul de –2AB : –2 · (⅓ u) · (3 v) = –2 · (⅓×3) u v = –2uv. • Calcul de B² : (3 v)² = 9v².
Ainsi, le développement est : (⅓ u – 3 v)² = 1/9 u² – 2uv + 9v².
▶ 2. Développez (¼ x² – ½ y²)²
• On pose A = ¼ x² et B = ½ y². • A² : (¼ x²)² = 1/16 x⁴. • –2AB : –2 · (¼ x²) · (½ y²) = –2 · (1/4×1/2) x²y² = –2 · (1/8)x²y² = –¼ x²y². • B² : (½ y²)² = 1/4 y⁴.
On obtient donc : (¼ x² – ½ y²)² = 1/16 x⁴ – ¼ x²y² + 1/4 y⁴.
▶ 3. Développez (0,3ab – 10b²)²
(Remarquons que 0,3 s’écrit en notation décimale et équivaut à 0,3.) • Ici, A = 0,3ab et B = 10b². • A² : (0,3ab)² = 0,3² a²b² = 0,09 a²b². • –2AB : –2 · (0,3ab) · (10b²) = –2 · 0,3·10 ab·b² = –6 ab³. • B² : (10b²)² = 100 b⁴.
Le développement est donc : (0,3ab – 10b²)² = 0,09 a²b² – 6 ab³ + 100 b⁴.
▶ 4. Développez (12a – 5)·(12a – 5)
Ici, on reconnaît immédiatement le carré d’une différence :
• A = 12a et B = 5. • A² : (12a)² = 144a². • –2AB : –2 · (12a) · 5 = –120a. • B² : 5² = 25.
Ainsi, on a : (12a – 5)² = 144a² – 120a + 25.
▶ 5. Développez (¼ a² – b) · (–b + ¼ a²)
Dans le second facteur, notez que l’ordre des termes est inversé mais cela ne modifie en rien le résultat. On peut réécrire l’expression sous la forme (¼ a² – b) · (¼ a² – b), c’est-à-dire le carré du binôme.
• A = ¼ a² et B = b. • A² : (¼ a²)² = 1/16 a⁴. • –2AB : –2 · (¼ a²) · b = –½ a²b. • B² : b².
On obtient : (¼ a² – b)² = 1/16 a⁴ – ½ a²b + b².
▶ 6. Développez (1/16 x³ – 8xy⁴)²
• Ici, A = 1/16 x³ et B = 8xy⁴. • A² : (1/16 x³)² = 1/256 x⁶. •
–2AB : –2 · (1/16 x³) · (8xy⁴)
= –2 · (8/16) x^(3+1) y⁴
= –2 · (1/2) x⁴y⁴
= –x⁴y⁴. • B² : (8xy⁴)² = 64x²y⁸.
Le développement final est donc : (1/16 x³ – 8xy⁴)² = 1/256 x⁶ – x⁴y⁴ + 64x²y⁸.
Ces développements montrent étape par étape comment appliquer la formule du carré d’une différence pour obtenir le résultat final dans chaque exercice.