Exercice 17

1. Développez l’expression suivante : \(\left(\dfrac{1}{2}a + 3b\right)^{2}\).

2. Développez l’expression suivante : \(\left(\dfrac{1}{5}x^{2} + 10y^{2}\right)^{2}\).

3. Développez l’expression suivante : \(\left(0,2xy + 10x^{2}\right)^{2}\).

4. Développez l’expression suivante : \((3a + 7) \cdot (3a + 7)\).

5. Développez l’expression suivante : \(\left(\dfrac{1}{3}x^{3} + y^{3}\right) \cdot \left(y^{3} + \dfrac{1}{3}x^{3}\right)\).

6. Développez l’expression suivante : \(\left(7a + \dfrac{3}{7}b\right)^{2}\).

Réponse

1. (½a + 3b)² = ¼a² + 3ab + 9b²
   
2. (⅕x² + 10y²)² = 1/25 x⁴ + 4x²y² + 100y⁴
   
3. (0,2xy + 10x²)² = 0,04x²y² + 4x³y + 100x⁴
   
4. (3a + 7)² = 9a² + 42a + 49
   
5. (⅓x³ + y³)² = 1/9 x⁶ + 2/3 x³y³ + y⁶
   
6. (7a + (3/7)b)² = 49a² + 6ab + 9/49b²

Corrigé détaillé

Nous allons développer chacune des expressions en utilisant la formule du carré d’une somme, qui s’écrit :

  (A + B)² = A² + 2·A·B + B²

Nous allons appliquer cette formule à chaque exercice.

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Exercice 1 : Développer (½a + 3b)²

1. Identifier A et B :   A = ½a  et  B = 3b.
2. Calculer A² :   (½a)² = ¼a².
3. Calculer 2·A·B :   2 · (½a) · (3b) = 2 · (½ × 3) · ab = 2 · (3/2) ab = 3ab.
4. Calculer B² :   (3b)² = 9b².
5. Conclusion :   (½a + 3b)² = ¼a² + 3ab + 9b².

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Exercice 2 : Développer (⅕x² + 10y²)²

1. Identifier A et B :   A = ⅕x²  et  B = 10y².
2. Calculer A² :   (⅕x²)² = 1/25 x⁴.
3. Calculer 2·A·B :   2 · (⅕x²) · (10y²) = 2 · (10/5) x²y² = 2 · 2 x²y² = 4x²y².
4. Calculer B² :   (10y²)² = 100y⁴.
5. Conclusion :   (⅕x² + 10y²)² = 1/25 x⁴ + 4x²y² + 100y⁴.

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Exercice 3 : Développer (0,2xy + 10x²)²

1. Identifier A et B :   A = 0,2xy  et  B = 10x². Remarque : 0,2 peut être considéré comme 1/5.
2. Calculer A² :   (0,2xy)² = 0,04x²y²  (car 0,2² = 0,04).
3. Calculer 2·A·B :   2 · (0,2xy) · (10x²) = 2 · (0,2 × 10) x³y = 2 · 2 x³y = 4x³y.
4. Calculer B² :   (10x²)² = 100x⁴.
5. Conclusion :   (0,2xy + 10x²)² = 0,04x²y² + 4x³y + 100x⁴.

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Exercice 4 : Développer (3a + 7) · (3a + 7)

1. On remarque que c’est le carré d’une somme, c’est-à-dire (3a + 7)².
2. Identifier A et B :   A = 3a  et  B = 7.
3. Calculer A² :   (3a)² = 9a².
4. Calculer 2·A·B :   2 · (3a) · 7 = 42a.
5. Calculer B² :   7² = 49.
6. Conclusion :   (3a + 7)² = 9a² + 42a + 49.

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Exercice 5 : Développer (⅓x³ + y³) · (y³ + ⅓x³)

1. On remarque que les deux parenthèses sont identiques (l’ordre des termes ne change pas le résultat de la multiplication). Ainsi, il s’agit de (⅓x³ + y³)².
2. Identifier A et B :   A = ⅓x³  et  B = y³.
3. Calculer A² :   (⅓x³)² = 1/9 x⁶.
4. Calculer 2·A·B :   2 · (⅓x³) · (y³) = 2/3 x³y³.
5. Calculer B² :   (y³)² = y⁶.
6. Conclusion :   (⅓x³ + y³)² = 1/9x⁶ + 2/3 x³y³ + y⁶.

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Exercice 6 : Développer (7a + (3/7)b)²

1. Identifier A et B :   A = 7a  et  B = (3/7)b.
2. Calculer A² :   (7a)² = 49a².
3. Calculer 2·A·B :   2 · (7a) · ((3/7)b) = 2 · (7 × 3/7) ab = 2 · 3 ab = 6ab.
4. Calculer B² :   ((3/7)b)² = 9/49 b².
5. Conclusion :   (7a + (3/7)b)² = 49a² + 6ab + 9/49 b².

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Ainsi, nous avons développé chacune des expressions étape par étape en appliquant la formule du carré d’une somme.