Calculer à l’aide des produits remarquables :
\(41 \cdot 39\)
\(41^{2}\)
\(53 \cdot 47\)
\(47^{2}\)
\(105 \cdot 95\)
\(105^{2}\)
Réponses des exercices :
Pour calculer \(41 \cdot 39\) en utilisant les produits remarquables, on peut remarquer que ces deux nombres sont proches de 40. On peut donc les exprimer de la manière suivante : \[ 41 = 40 + 1 \quad \text{et} \quad 39 = 40 - 1 \] Ainsi, le produit devient : \[ 41 \cdot 39 = (40 + 1)(40 - 1) \] On reconnaît ici le produit de la forme \((a + b)(a - b)\), qui est un produit remarquable connu : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \] En appliquant cette formule : \[ (40 + 1)(40 - 1) = 40^2 - 1^2 = 1600 - 1 = 1599 \] Réponse : \(41 \cdot 39 = 1599\)
Pour calculer \(41^{2}\) (le carré de 41) en utilisant les produits remarquables, on peut décomposer 41 de la manière suivante : \[ 41 = 40 + 1 \] On utilise la formule du carré d’une somme : \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] En appliquant cette formule : \[ (40 + 1)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681 \] Réponse : \(41^{2} = 1681\)
Pour calculer \(53 \cdot 47\) en utilisant les produits remarquables, observons que ces deux nombres sont centrés autour de 50. On peut les exprimer ainsi : \[ 53 = 50 + 3 \quad \text{et} \quad 47 = 50 - 3 \] Ainsi, le produit devient : \[ 53 \cdot 47 = (50 + 3)(50 - 3) \] En reconnaissant le produit remarquable : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \] On applique cette formule : \[ (50 + 3)(50 - 3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491 \] Réponse : \(53 \cdot 47 = 2491\)
Pour calculer \(47^{2}\) (le carré de 47) en utilisant les produits remarquables, décomposons 47 de la manière suivante : \[ 47 = 50 - 3 \] On utilise la formule du carré d’une différence : \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] En appliquant cette formule : \[ (50 - 3)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 3 + 3^2 = 2500 - 300 + 9 = 2209 \] Réponse : \(47^{2} = 2209\)
Pour calculer \(105 \cdot 95\) en utilisant les produits remarquables, observons que ces deux nombres sont centrés autour de 100. On peut les exprimer ainsi : \[ 105 = 100 + 5 \quad \text{et} \quad 95 = 100 - 5 \] Ainsi, le produit devient : \[ 105 \cdot 95 = (100 + 5)(100 - 5) \] En reconnaissant le produit remarquable : \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \] On applique cette formule : \[ (100 + 5)(100 - 5) = 100^2 - 5^2 = 10000 - 25 = 9975 \] Réponse : \(105 \cdot 95 = 9975\)
Pour calculer \(105^{2}\) (le carré de 105) en utilisant les produits remarquables, décomposons 105 de la manière suivante : \[ 105 = 100 + 5 \] On utilise la formule du carré d’une somme : \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] En appliquant cette formule : \[ (100 + 5)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 5 + 5^2 = 10000 + 1000 + 25 = 11025 \] Réponse : \(105^{2} = 11025\)