Indiquez pourquoi chacune des identités suivantes est vraie :
\[ \begin{array}{ll} 5 \cdot(2 a+b)=5 \cdot(b+2 a) & (3 a+2 b)+c=3 a+(2 b+c) \\ 4 \cdot(a+b)=4 a+4 b & 7 \cdot(a \cdot b)=(a \cdot b) \cdot 7 \\ 5 a \cdot(3 b \cdot c)=(5 a \cdot 3 b) \cdot c & (a+b) \cdot 5=5 \cdot(a+b) \end{array} \]
Réponse très courte :
Nous allons expliquer, pour chacune des identités proposées, quelles sont les propriétés des opérations (addition et multiplication) qui interviennent pour que l’égalité soit vraie.
────────────────────────────── 1) 5 · (2a + b) = 5 · (b + 2a)
Explication : • Dans l’expression à l’intérieur des parenthèses, nous
avons 2a + b.
• La propriété commutative de l’addition nous dit que l’ordre dans
lequel on additionne deux nombres (ou deux expressions) n’affecte pas le
résultat. Autrement dit, 2a + b = b + 2a.
• En multipliant ce résultat par 5, l’égalité reste vraie puisque la
multiplication se fait ensuite sur le même nombre.
────────────────────────────── 2) (3a + 2b) + c = 3a + (2b + c)
Explication : • Ici, on effectue des additions successives.
• La propriété associative de l’addition nous permet de changer la
parenthétisation, c’est-à-dire la façon de grouper les termes, sans
modifier le résultat.
• Que l’on additionne d’abord (3a + 2b) puis le résultat avec c, ou bien
que l’on additionne d’abord 2b et c puis qu’on ajoute 3a, le résultat
final reste le même.
────────────────────────────── 3) 4 · (a + b) = 4a + 4b
Explication : • Cette identité utilise la propriété distributive de
la multiplication par rapport à l’addition.
• La propriété distributive nous dit que multiplier une somme par un
nombre revient à multiplier chacun des termes de la somme par ce nombre,
puis à additionner les résultats.
• Ainsi, 4 · (a + b) = 4 · a + 4 · b, ce qui s’écrit aussi 4a + 4b.
────────────────────────────── 4) 7 · (a · b) = (a · b) · 7
Explication : • Dans ce cas, nous avons une multiplication.
• La propriété commutative de la multiplication affirme que l’ordre des
facteurs n’affecte pas le produit : a · b = b · a et de même 7 · (a · b)
= (a · b) · 7.
• Autrement dit, multiplier 7 par (a · b) donne le même résultat que
multiplier (a · b) par 7.
────────────────────────────── 5) 5a · (3b · c) = (5a · 3b) · c
Explication : • Ici, nous avons des multiplications
successives.
• La propriété associative de la multiplication permet de regrouper les
facteurs de différentes manières sans changer le résultat.
• On peut regrouper 5a et 3b ensemble et ensuite multiplier le résultat
par c, ou bien multiplier 3b par c dans un premier temps puis multiplier
par 5a. Dans les deux cas, on obtient le même produit.
────────────────────────────── 6) (a + b) · 5 = 5 · (a + b)
Explication : • Dans cette identité, nous voyons une multiplication
où le nombre 5 et la somme (a + b) interviennent.
• La propriété commutative de la multiplication nous assure que l’ordre
des facteurs importe peu.
• Ainsi, multiplier (a + b) par 5 ou 5 par (a + b) donne le même
résultat.
────────────────────────────── Conclusion :
Chaque identité est fondée sur l’une ou plusieurs des propriétés suivantes : • La propriété commutative (pour l’addition ou la multiplication) : l’ordre des nombres ne change pas le résultat. • La propriété associative (pour l’addition ou la multiplication) : la manière de regrouper les termes ne change pas le résultat. • La propriété distributive (pour la multiplication par rapport à l’addition) : multiplier une somme revient à multiplier chaque terme par le facteur extérieur et ensuite à additionner.
Ces propriétés permettent de réarranger les termes et les opérations dans une expression sans en modifier la valeur, ce qui explique pourquoi chacune de ces identités est vraie.