Simplifiez l’expression suivante : \[(x - 1)^2 - a^2\]
Simplifiez l’expression suivante : \[(3a - b)^2 - 25a^2\]
Simplifiez l’expression suivante : \[(x - 1)^2 - 16y^2\]
Simplifiez l’expression suivante : \[(2a - b)^2 - (a + b)^2\]
Simplifiez l’expression suivante : \[25x^4 - (a + 2b)^2\]
Simplifiez l’expression suivante : \[(2x - y)^2 - (x + 3y)^2\]
Nous allons simplifier chacune des expressions en identifiant des formes remarquables, notamment la différence de deux carrés. Pour rappel, la différence de deux carrés s’écrit sous la forme :
A² – B² = (A – B)(A + B).
Nous appliquerons cette propriété dès que nous reconnaîtrons deux termes mis au carré. Voici le détail pour chaque question :
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1. Expression : (x – 1)² – a²
I. Remarquons que a² est le carré de a.
II. On a donc :
(x – 1)² – a² = [(x – 1) – a] × [(x – 1) + a].
La forme factorisée de l’expression est donc :
(x – 1 – a)(x – 1 + a).
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2. Expression : (3a – b)² – 25a²
I. Notez que 25a² peut s’écrire (5a)².
II. L’expression devient donc :
(3a – b)² – (5a)². III. En appliquant la différence de deux carrés :
(3a – b – 5a) × (3a – b + 5a).
Calculons chaque parenthèse :
– La première : 3a – b – 5a = –2a – b.
– La seconde : 3a – b + 5a = 8a – b.
On obtient ainsi :
(–2a – b)(8a – b).
Il est possible de factoriser le signe négatif dans le premier
facteur :
(–2a – b) = –(2a + b), d’où la forme alternative :
–(2a + b)(8a – b).
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3. Expression : (x – 1)² – 16y²
I. Ici, 16y² s’écrit (4y)².
II. On a alors :
(x – 1)² – (4y)². III. En appliquant le modèle : [(x – 1) – 4y] ×
[(x – 1) + 4y].
La forme factorisée est donc :
(x – 1 – 4y)(x – 1 + 4y).
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4. Expression : (2a – b)² – (a + b)²
I. Cette expression est la différence de deux carrés puisque chacun
des termes est au carré.
II. On l’écrit alors :
[(2a – b) – (a + b)] × [(2a – b) + (a + b)]. III. Simplifions chaque
facteur :
– Le premier : (2a – b) – (a + b) = 2a – b – a – b = a – 2b.
– Le deuxième : (2a – b) + (a + b) = 2a – b + a + b = 3a.
La forme simplifiée est ainsi :
3a(a – 2b).
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5. Expression : 25x⁴ – (a + 2b)²
I. Remarquons que 25x⁴ peut s’écrire (5x²)².
II. L’expression se transforme en : (5x²)² – (a + 2b)². III.
Appliquons la formule de la différence de deux carrés : [5x² – (a +
2b)] × [5x² + (a + 2b)].
La forme factorisée est donc :
(5x² – (a + 2b))(5x² + (a + 2b)).
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6. Expression : (2x – y)² – (x + 3y)²
I. On remarque que c’est la différence de deux carrés.
II. On écrit : [(2x – y) – (x + 3y)] × [(2x – y) + (x + 3y)]. III.
Simplifions chaque facteur :
– Le premier facteur : (2x – y) – (x + 3y) = 2x – y – x – 3y = x –
4y.
– Le second facteur : (2x – y) + (x + 3y) = 2x – y + x + 3y = 3x +
2y.
L’expression simplifiée est donc :
(x – 4y)(3x + 2y).
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Récapitulatif des résultats :
Chaque étape a été obtenue en identifiant les formes carrées et en appliquant la formule de la différence de deux carrés, ce qui permet une simplification rapide et efficace des expressions données.