Calculez à l’aide des produits remarquables :
\(\left(\dfrac{1}{y^{2}} + y^{2}\right)^{2}\)
\(\left(3\, a^{n-1} - 2\, a^{2n}\right)^{2}\)
\(\left(2\, a^{n} - a^{n+1}\right)^{2}\)
\(\left(4\, a^{3n} + 3\, a^{2n}\right) \cdot \left(4\, a^{3n} - 3\, a^{2n}\right)\)
\(\left(\dfrac{1}{3}\, a^{3n} - a^{2n}\right)^{2}\)
\(\left(0,1\, a^{n} - 0,1\, a^{n+1}\right) \cdot \left(0,1\, a^{n+1} + 0,1\, a^{n}\right)\)
Résumé de la correction :
Chaque exercice a été résolu en identifiant le binôme pertinent et en appliquant les formules des produits remarquables, telles que le carré d’un binôme \((A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2\) et le produit de binômes conjugués \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\). Les termes individuels ont été calculés puis assemblés pour obtenir les expressions développées finales.
Nous allons résoudre chaque exercice en utilisant les propriétés des produits remarquables. Ces propriétés permettent de simplifier le calcul de carrés de binômes ou de produits de binômes conjugués.
Étape 1 : Identifier le binôme
Nous avons le binôme \(A + B\), où : - \(A = \dfrac{1}{y^{2}}\) - \(B = y^{2}\)
Étape 2 : Appliquer le carré d’un binôme
La formule pour le carré d’un binôme est : \[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Calcul de \(A^2\) : \[\left(\dfrac{1}{y^{2}}\right)^2 = \dfrac{1}{y^{4}}\]
Calcul de \(2AB\) : \[2 \times \dfrac{1}{y^{2}} \times y^{2} = 2 \times 1 = 2\]
Calcul de \(B^2\) : \[(y^{2})^2 = y^{4}\]
Étape 4 : Assembler les termes
\[\left(\dfrac{1}{y^{2}} + y^{2}\right)^2 = \dfrac{1}{y^{4}} + 2 + y^{4}\]
Étape 1 : Identifier le binôme
Nous avons le binôme \(A - B\), où : - \(A = 3\, a^{n-1}\) - \(B = 2\, a^{2n}\)
Étape 2 : Appliquer le carré d’un binôme
La formule est : \[(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Calcul de \(A^2\) : \[(3\, a^{n-1})^2 = 9\, a^{2(n-1)} = 9\, a^{2n-2}\]
Calcul de \(2AB\) : \[2 \times 3\, a^{n-1} \times 2\, a^{2n} = 12\, a^{3n-1}\]
Calcul de \(B^2\) : \[(2\, a^{2n})^2 = 4\, a^{4n}\]
Étape 4 : Assembler les termes
\[\left(3\, a^{n-1} - 2\, a^{2n}\right)^2 = 9\, a^{2n-2} - 12\, a^{3n-1} + 4\, a^{4n}\]
Étape 1 : Identifier le binôme
Nous avons le binôme \(A - B\), où : - \(A = 2\, a^{n}\) - \(B = a^{n+1}\)
Étape 2 : Appliquer le carré d’un binôme
\[\left(A - B\right)^2 = A^2 - 2AB + B^2\]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Calcul de \(A^2\) : \[(2\, a^{n})^2 = 4\, a^{2n}\]
Calcul de \(2AB\) : \[2 \times 2\, a^{n} \times a^{n+1} = 4\, a^{2n+1}\]
Calcul de \(B^2\) : \[(a^{n+1})^2 = a^{2n+2}\]
Étape 4 : Assembler les termes
\[\left(2\, a^{n} - a^{n+1}\right)^2 = 4\, a^{2n} - 4\, a^{2n+1} + a^{2n+2}\]
Étape 1 : Identifier les binômes conjugués
Nous avons deux binômes de la forme \((A + B)(A - B)\), où : - \(A = 4\, a^{3n}\) - \(B = 3\, a^{2n}\)
Étape 2 : Appliquer la formule des binômes conjugués
\[ (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Calcul de \(A^2\) : \[(4\, a^{3n})^2 = 16\, a^{6n}\]
Calcul de \(B^2\) : \[(3\, a^{2n})^2 = 9\, a^{4n}\]
Étape 4 : Assembler les termes
\[\left(4\, a^{3n} + 3\, a^{2n}\right) \cdot \left(4\, a^{3n} - 3\, a^{2n}\right) = 16\, a^{6n} - 9\, a^{4n}\]
Étape 1 : Identifier le binôme
Nous avons le binôme \(A - B\), où : - \(A = \dfrac{1}{3}\, a^{3n}\) - \(B = a^{2n}\)
Étape 2 : Appliquer le carré d’un binôme
\[\left(A - B\right)^2 = A^2 - 2AB + B^2\]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Calcul de \(A^2\) : \[\left(\dfrac{1}{3}\, a^{3n}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\, a^{6n}\]
Calcul de \(2AB\) : \[2 \times \dfrac{1}{3}\, a^{3n} \times a^{2n} = \dfrac{2}{3}\, a^{5n}\]
Calcul de \(B^2\) : \[(a^{2n})^2 = a^{4n}\]
Étape 4 : Assembler les termes
\[\left(\dfrac{1}{3}\, a^{3n} - a^{2n}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\, a^{6n} - \dfrac{2}{3}\, a^{5n} + a^{4n}\]
Remarque : En français, la virgule est utilisée comme séparateur décimal. Ainsi, \(0,1\) équivaut à \(0.1\) en notation anglo-saxonne.
Étape 1 : Identifier les binômes conjugués
Nous avons : - Premier binôme : \(A - B\), où : - \(A = 0,1\, a^{n}\) - \(B = 0,1\, a^{n+1}\)
Étape 2 : Appliquer la formule des binômes conjugués
\[ (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
Calcul de \(A^2\) pour le premier binôme : \[(0,1\, a^{n})^2 = 0,01\, a^{2n}\]
Calcul de \(B^2\) pour le premier binôme : \[(0,1\, a^{n+1})^2 = 0,01\, a^{2n+2}\]
Étape 4 : Assembler les termes
\[\left(0,1\, a^{n} - 0,1\, a^{n+1}\right) \cdot \left(0,1\, a^{n+1} + 0,1\, a^{n}\right) = 0,01\, a^{2n} - 0,01\, a^{2n+2}\]
Ces solutions utilisent les propriétés fondamentales des produits remarquables pour simplifier et développer les expressions données. Assurez-vous de bien identifier les termes du binôme et d’appliquer correctement les formules pour obtenir le résultat souhaité.