Calculer à l’aide des produits remarquables :
Nous allons développer chacun des six exercices en utilisant les formules de développement usuelles. Par exemple, pour deux termes, nous avons : (X + Y)² = X² + 2XY + Y², et pour trois termes, le développement est : (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
Nous allons appliquer ces formules étape par étape.
────────────────────────────── 1) Développer (a + b + c)²
On a : (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
Explications : • a², b² et c² proviennent du carré de chaque terme. • 2ab, 2ac et 2bc viennent du produit de chaque paire de termes multiplié par 2.
────────────────────────────── 2) Développer (2a – b – c)²
On rappelle que le carré d’une somme (ou différence) se calcule en prenant le carré de chaque terme et en ajoutant deux fois le produit de chacun des deux termes. Ici, nous avons trois termes : 2a, –b et –c.
Calculons individuellement : • (2a)² = 4a². • (–b)² = b². • (–c)² = c².
Pour les produits croisés : • 2 × (2a) × (–b) = –4ab. • 2 × (2a) × (–c) = –4ac. • 2 × (–b) × (–c) = 2bc (car le produit de deux nombres négatifs est positif).
Ainsi, (2a – b – c)² = 4a² + b² + c² – 4ab – 4ac + 2bc.
────────────────────────────── 3) Développer (3x – 2y – 1)²
Ici, les trois termes sont 3x, –2y et –1.
Calculons les carrés : • (3x)² = 9x². • (–2y)² = 4y². • (–1)² = 1.
Calculons les produits croisés : • 2 × (3x) × (–2y) = –12xy. • 2 × (3x) × (–1) = –6x. • 2 × (–2y) × (–1) = 4y (car (–2y) × (–1) = 2y et 2 × 2y = 4y).
Ainsi, (3x – 2y – 1)² = 9x² + 4y² + 1 – 12xy – 6x + 4y.
────────────────────────────── 4) Développer (a + b – 1)²
Les trois termes sont a, b et –1. On calcule :
Carrés : • a². • b². • (–1)² = 1.
Produits croisés : • 2 × a × b = 2ab. • 2 × a × (–1) = –2a. • 2 × b × (–1) = –2b.
Ainsi, (a + b – 1)² = a² + b² + 1 + 2ab – 2a – 2b.
────────────────────────────── 5) Développer (2a – 3b + 2c)²
Ici, les trois termes sont 2a, –3b et 2c.
Carrés : • (2a)² = 4a². • (–3b)² = 9b². • (2c)² = 4c².
Produits croisés : • 2 × (2a) × (–3b) = –12ab. • 2 × (2a) × (2c) = 8ac. • 2 × (–3b) × (2c) = –12bc.
Ainsi, (2a – 3b + 2c)² = 4a² + 9b² + 4c² – 12ab + 8ac – 12bc.
────────────────────────────── 6) Développer (3a – b + c)²
Les termes sont 3a, –b et c.
Carrés : • (3a)² = 9a². • (–b)² = b². • c².
Produits croisés : • 2 × (3a) × (–b) = –6ab. • 2 × (3a) × c = 6ac. • 2 × (–b) × c = –2bc.
Ainsi, (3a – b + c)² = 9a² + b² + c² – 6ab + 6ac – 2bc.
────────────────────────────── Récapitulatif des résultats :
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
(2a – b – c)² = 4a² + b² + c² – 4ab – 4ac + 2bc.
(3x – 2y – 1)² = 9x² + 4y² + 1 – 12xy – 6x + 4y.
(a + b – 1)² = a² + b² + 1 + 2ab – 2a – 2b.
(2a – 3b + 2c)² = 4a² + 9b² + 4c² – 12ab + 8ac – 12bc.
(3a – b + c)² = 9a² + b² + c² – 6ab + 6ac – 2bc.
Chaque développement a été obtenu en appliquant la formule du carré d’une somme ou d’une différence ainsi que la formule de développement pour trois termes. Ces étapes permettent de rendre explicite le calcul et de vérifier que chaque terme a bien été pris en compte.