Factoriser à l’aide des produits remarquables :
Réponses factorisées :
\[ 9a^{4} - 16b^{2} = (3a^{2} - 4b)(3a^{2} + 4b) \]
\[ x^{2} + x - 20 = (x - 4)(x + 5) \]
\[ \frac{1}{4}a^{2} + 2ab + 4b^{2} = \left(\frac{a}{2} + 2b\right)^{2} \]
\[ 9a^{2} - 4b^{2} = (3a - 2b)(3a + 2b) \]
\[ 0,01x^{2} - 0,6xy + 9y^{2} = \left(\frac{x}{10} - 3y\right)^{2} \]
\[ x^{2} + 6x - 16 = (x - 2)(x + 8) \]
Expression à factoriser : \[ 9a^{4} - 16b^{2} \]
Correction détaillée :
Reconnaître la forme d’une différence de carrés :
L’expression \(9a^{4} - 16b^{2}\) est une différence de deux carrés car elle peut s’écrire comme : \[ (3a^{2})^{2} - (4b)^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
La différence de carrés s’écrit : \[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Dans notre cas, \(A = 3a^{2}\) et \(B = 4b\).
Factoriser l’expression : \[ 9a^{4} - 16b^{2} = (3a^{2})^{2} - (4b)^{2} = (3a^{2} - 4b)(3a^{2} + 4b) \]
Réponse factorisée : \[ 9a^{4} - 16b^{2} = (3a^{2} - 4b)(3a^{2} + 4b) \]
Expression à factoriser : \[ x^{2} + x - 20 \]
Correction détaillée :
Identifier les coefficients :
L’expression est du type : \[ x^{2} + px + q \]
Ici, \(p = 1\) et \(q = -20\).
Trouver deux nombres dont le produit est \(q = -20\) et la somme est \(p = 1\) :
Les nombres sont \(5\) et \(-4\), car : \[ 5 \times (-4) = -20 \] \[ 5 + (-4) = 1 \]
Factoriser en utilisant ces nombres : \[ x^{2} + x - 20 = x^{2} + 5x - 4x - 20 \]
\[ = x(x + 5) -4(x +5) \]
\[ = (x -4)(x +5) \]
Réponse factorisée : \[ x^{2} + x - 20 = (x - 4)(x + 5) \]
Expression à factoriser : \[ \frac{1}{4}a^{2} + 2ab + 4b^{2} \]
Correction détaillée :
Simplifier les coefficients :
L’expression peut être réécrite avec des coefficients entiers en multipliant par 4 : \[ \frac{1}{4}a^{2} + 2ab + 4b^{2} = \left(\frac{a}{2}\right)^{2} + 2\left(\frac{a}{2}\right)(2b) + (2b)^{2} \]
Reconnaître la forme d’un carré parfait :
L’expression correspond à : \[ (A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} \]
Ici, \(A = \frac{a}{2}\) et \(B = 2b\).
Factoriser l’expression : \[ \frac{1}{4}a^{2} + 2ab + 4b^{2} = \left(\frac{a}{2} + 2b\right)^{2} \]
Réponse factorisée : \[ \frac{1}{4}a^{2} + 2ab + 4b^{2} = \left(\frac{a}{2} + 2b\right)^{2} \]
Expression à factoriser : \[ 9a^{2} - 4b^{2} \]
Correction détaillée :
Reconnaître la forme d’une différence de carrés :
L’expression \(9a^{2} - 4b^{2}\) est une différence de deux carrés car elle peut s’écrire comme : \[ (3a)^{2} - (2b)^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Ici, \(A = 3a\) et \(B = 2b\).
Factoriser l’expression : \[ 9a^{2} - 4b^{2} = (3a - 2b)(3a + 2b) \]
Réponse factorisée : \[ 9a^{2} - 4b^{2} = (3a - 2b)(3a + 2b) \]
Expression à factoriser : \[ 0,01x^{2} - 0,6xy + 9y^{2} \]
Correction détaillée :
Simplifier les coefficients en éliminant les décimales :
Multiplions l’expression par 100 pour simplifier : \[ 0,01x^{2} - 0,6xy + 9y^{2} = \frac{1}{100}x^{2} - \frac{60}{100}xy + 9y^{2} \]
\[ = \left(\frac{x}{10}\right)^{2} - 2\left(\frac{x}{10}\right)(3y) + (3y)^{2} \]
Reconnaître la forme d’un carré parfait :
L’expression correspond à : \[ (A - B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2} \]
Ici, \(A = \frac{x}{10}\) et \(B = 3y\).
Factoriser l’expression : \[ 0,01x^{2} - 0,6xy + 9y^{2} = \left(\frac{x}{10} - 3y\right)^{2} \]
Réponse factorisée : \[ 0,01x^{2} - 0,6xy + 9y^{2} = \left(\frac{x}{10} - 3y\right)^{2} \]
Expression à factoriser : \[ x^{2} + 6x - 16 \]
Correction détaillée :
Identifier les coefficients :
L’expression est du type : \[ x^{2} + px + q \]
Ici, \(p = 6\) et \(q = -16\).
Trouver deux nombres dont le produit est \(q = -16\) et la somme est \(p = 6\) :
Les nombres sont \(8\) et \(-2\), car : \[ 8 \times (-2) = -16 \] \[ 8 + (-2) = 6 \]
Factoriser en utilisant ces nombres : \[ x^{2} + 6x - 16 = x^{2} + 8x - 2x -16 \]
\[ = x(x + 8) -2(x +8) \]
\[ = (x -2)(x +8) \]
Réponse factorisée : \[ x^{2} + 6x - 16 = (x - 2)(x + 8) \]