Exercice 9

Soient les polynômes suivants :

• \(X = 2b + a^{2}\)
• \(Y = a^{2} - 2b\)

Formez les polynômes suivants :

1. \((X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}\)
2. \(X^{2} - Y^{2}\)
3. \(2XY - (X - Y)^{2} + (X + Y)(X - Y)\)

Réponse

Résumé des exercices :

1. \((X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4(a^4 - 4b^2)\)
2. \(X^2 - Y^2 = 8a^2b\)
3. \(2XY - (X - Y)^2 + (X + Y)(X - Y) = 2a^4 + 8a^2b - 24b^2\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de polynômes

Nous allons résoudre les trois exercices en utilisant les polynômes donnés : - \(X = 2b + a^{2}\) - \(Y = a^{2} - 2b\)

Exercice 1 : Calculer \((X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}\)

Étape 1 : Calculer \(X + Y\) et \(X - Y\)

Commençons par additionner et soustraire les polynômes \(X\) et \(Y\).

\[ X + Y = (2b + a^{2}) + (a^{2} - 2b) = 2b + a^{2} + a^{2} - 2b = 2a^{2} \]

\[ X - Y = (2b + a^{2}) - (a^{2} - 2b) = 2b + a^{2} - a^{2} + 2b = 4b \]

Étape 2 : Calculer \((X + Y)^{2}\) et \((X - Y)^{2}\)

\[ (X + Y)^{2} = (2a^{2})^{2} = 4a^{4} \]

\[ (X - Y)^{2} = (4b)^{2} = 16b^{2} \]

Étape 3 : Soustraire les deux résultats obtenus

\[ (X + Y)^{2} - (X - Y)^{2} = 4a^{4} - 16b^{2} = 4(a^{4} - 4b^{2}) \]

Résultat

\[ (X + Y)^{2} - (X - Y)^{2} = 4(a^{4} - 4b^{2}) \]

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Exercice 2 : Calculer \(X^{2} - Y^{2}\)

Étape 1 : Calculer \(X^{2}\) et \(Y^{2}\)

\[ X^{2} = (2b + a^{2})^{2} = (a^{2} + 2b)^{2} = a^{4} + 4a^{2}b + 4b^{2} \]

\[ Y^{2} = (a^{2} - 2b)^{2} = a^{4} - 4a^{2}b + 4b^{2} \]

Étape 2 : Soustraire \(Y^{2}\) de \(X^{2}\)

\[ X^{2} - Y^{2} = (a^{4} + 4a^{2}b + 4b^{2}) - (a^{4} - 4a^{2}b + 4b^{2}) = 8a^{2}b \]

Résultat

\[ X^{2} - Y^{2} = 8a^{2}b \]

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Exercice 3 : Calculer \(2XY - (X - Y)^{2} + (X + Y)(X - Y)\)

Étape 1 : Calculer \(XY\), \((X - Y)^{2}\) et \((X + Y)(X - Y)\)

Calculons chaque terme séparément.

\[ XY = (2b + a^{2})(a^{2} - 2b) = 2b \cdot a^{2} - 4b^{2} + a^{2} \cdot a^{2} - 2b \cdot a^{2} = a^{4} - 4b^{2} \]

\[ (X - Y)^{2} = (4b)^{2} = 16b^{2} \quad \text{(comme calculé dans l'exercice 1)} \]

\[ (X + Y)(X - Y) = (2a^{2})(4b) = 8a^{2}b \]

Étape 2 : Mettre les valeurs dans l’expression

\[ 2XY - (X - Y)^{2} + (X + Y)(X - Y) = 2(a^{4} - 4b^{2}) - 16b^{2} + 8a^{2}b \]

Développons chaque terme :

\[ 2a^{4} - 8b^{2} - 16b^{2} + 8a^{2}b = 2a^{4} + 8a^{2}b - 24b^{2} \]

Résultat

\[ 2XY - (X - Y)^{2} + (X + Y)(X - Y) = 2a^{4} + 8a^{2}b - 24b^{2} \]

Résumé des Résultats

1. \((X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}\) \[ 4(a^{4} - 4b^{2}) \]

2. \(X^{2} - Y^{2}\) \[ 8a^{2}b \]

3. \(2XY - (X - Y)^{2} + (X + Y)(X - Y)\) \[ 2a^{4} + 8a^{2}b - 24b^{2} \]

Conclusion

En suivant ces étapes détaillées, nous avons pu calculer chaque expression demandée en utilisant les polynômes \(X\) et \(Y\). N’hésitez pas à revoir chaque étape pour bien comprendre le processus de calcul.