Exercice 8

Développez les expressions suivantes :

1. \[(0,1\, a - b)^2\]

2. \[\left(\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b\right)^2\]

3. \[\left(\frac{1}{2} b + \frac{2}{3} a\right) \cdot \left(\frac{1}{2} b - \frac{2}{3} a\right)\]

4. \[\left(\frac{4}{5} x y - \frac{5}{4}\right)^2\]

5. \[\left(\frac{11}{10} a - \frac{4}{11} b\right)^2\]

6. \[(7 - 0,7\, b)^2\]

Réponse

Réponses Finales des Exercices

1. \((0,1\, a - b)^2 = 0,01\, a^2 - 0,2\, a b + b^2\)

2. \(\left(\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b\right)^2 = \frac{1}{9}\, a^2 + \frac{4}{9}\, a b + \frac{4}{9}\, b^2\)

3. \(\left(\frac{1}{2} b + \frac{2}{3} a\right) \cdot \left(\frac{1}{2} b - \frac{2}{3} a\right) = \frac{1}{4}\, b^2 - \frac{4}{9}\, a^2\)

4. \(\left(\frac{4}{5} x y - \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{16}{25}\, x^2 y^2 - 2\, x y + \frac{25}{16}\)

5. \(\left(\frac{11}{10} a - \frac{4}{11} b\right)^2 = \frac{121}{100}\, a^2 - \frac{4}{5}\, a b + \frac{16}{121}\, b^2\)

6. \((7 - 0,7\, b)^2 = 49 - 9,8\, b + 0,49\, b^2\)

Corrigé détaillé

Corrections détaillées des exercices de développement

Voici les corrections détaillées pour les exercices proposés. Chaque développement est effectué étape par étape, en utilisant des opérations mathématiques appropriées pour parvenir à la solution finale.

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1) Développez l’expression suivante :

\[(0,1\, a - b)^2\]

Solution :

Nous devons développer le carré d’une différence, c’est-à-dire utiliser la formule suivante : \[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\]

Appliquons cette formule à notre expression.

1. Identifions \(x\) et \(y\) :

   • \(x = 0,1\, a\)
   • \(y = b\)

2. Appliquons la formule : \[ (0,1\, a - b)^2 = (0,1\, a)^2 - 2 \times (0,1\, a) \times b + b^2 \]

3. Calculons chaque terme séparément :

   • \((0,1\, a)^2 = (0,1)^2 \times a^2 = 0,01\, a^2\)
   • \(-2 \times (0,1\, a) \times b = -0,2\, a b\)
   • \(b^2 = b^2\)

4. Assemblons les termes : \[ 0,01\, a^2 - 0,2\, a b + b^2 \]

Réponse finale : \[ (0,1\, a - b)^2 = 0,01\, a^2 - 0,2\, a b + b^2 \]

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2) Développez l’expression suivante :

\[\left(\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b\right)^2\]

Solution :

Nous devons développer le carré d’une somme, en utilisant la formule : \[(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\]

Appliquons cette formule à notre expression.

1. Identifions \(x\) et \(y\) :

   • \(x = \frac{1}{3} a\)
   • \(y = \frac{2}{3} b\)

2. Appliquons la formule : \[ \left(\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b\right)^2 = \left(\frac{1}{3} a\right)^2 + 2 \times \frac{1}{3} a \times \frac{2}{3} b + \left(\frac{2}{3} b\right)^2 \]

3. Calculons chaque terme séparément :

   • \(\left(\frac{1}{3} a\right)^2 = \frac{1}{9} a^2\)
   • \(2 \times \frac{1}{3} a \times \frac{2}{3} b = \frac{4}{9} a b\)
   • \(\left(\frac{2}{3} b\right)^2 = \frac{4}{9} b^2\)

4. Assemblons les termes : \[ \frac{1}{9} a^2 + \frac{4}{9} a b + \frac{4}{9} b^2 \]

Réponse finale : \[ \left(\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b\right)^2 = \frac{1}{9} a^2 + \frac{4}{9} a b + \frac{4}{9} b^2 \]

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3) Développez l’expression suivante :

\[\left(\frac{1}{2} b + \frac{2}{3} a\right) \cdot \left(\frac{1}{2} b - \frac{2}{3} a\right)\]

Solution :

Nous avons le produit de deux binômes de la forme \((x + y)(x - y)\), ce qui correspond à la différence de carrés : \[ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \]

Appliquons cette formule à notre expression.

1. Identifions \(x\) et \(y\) :

   • \(x = \frac{1}{2} b\)
   • \(y = \frac{2}{3} a\)

2. Appliquons la formule de la différence de carrés : \[ \left(\frac{1}{2} b + \frac{2}{3} a\right) \cdot \left(\frac{1}{2} b - \frac{2}{3} a\right) = \left(\frac{1}{2} b\right)^2 - \left(\frac{2}{3} a\right)^2 \]

3. Calculons chaque terme séparément :

   • \(\left(\frac{1}{2} b\right)^2 = \frac{1}{4} b^2\)
   • \(\left(\frac{2}{3} a\right)^2 = \frac{4}{9} a^2\)

4. Soustrayons les termes : \[ \frac{1}{4} b^2 - \frac{4}{9} a^2 \]

Réponse finale : \[ \left(\frac{1}{2} b + \frac{2}{3} a\right) \cdot \left(\frac{1}{2} b - \frac{2}{3} a\right) = \frac{1}{4} b^2 - \frac{4}{9} a^2 \]

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4) Développez l’expression suivante :

\[\left(\frac{4}{5} x y - \frac{5}{4}\right)^2\]

Solution :

Nous devons développer le carré d’une différence : \[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\]

Appliquons cette formule à notre expression.

1. Identifions \(x\) et \(y\) :

   • \(x = \frac{4}{5} x y\)
   • \(y = \frac{5}{4}\)

2. Appliquons la formule : \[ \left(\frac{4}{5} x y - \frac{5}{4}\right)^2 = \left(\frac{4}{5} x y\right)^2 - 2 \times \frac{4}{5} x y \times \frac{5}{4} + \left(\frac{5}{4}\right)^2 \]

3. Calculons chaque terme séparément :

   • \(\left(\frac{4}{5} x y\right)^2 = \frac{16}{25} x^2 y^2\)
   • \(-2 \times \frac{4}{5} x y \times \frac{5}{4} = -2 \times \frac{20}{20} x y = -2 \times 1 \times x y = -2 x y\)
   • \(\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}\)

4. Assemblons les termes : \[ \frac{16}{25} x^2 y^2 - 2 x y + \frac{25}{16} \]

Réponse finale : \[ \left(\frac{4}{5} x y - \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{16}{25} x^2 y^2 - 2 x y + \frac{25}{16} \]

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5) Développez l’expression suivante :

\[\left(\frac{11}{10} a - \frac{4}{11} b\right)^2\]

Solution :

Nous devons développer le carré d’une différence en utilisant la formule : \[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\]

Appliquons cette formule à notre expression.

1. Identifions \(x\) et \(y\) :

   • \(x = \frac{11}{10} a\)
   • \(y = \frac{4}{11} b\)

2. Appliquons la formule : \[ \left(\frac{11}{10} a - \frac{4}{11} b\right)^2 = \left(\frac{11}{10} a\right)^2 - 2 \times \frac{11}{10} a \times \frac{4}{11} b + \left(\frac{4}{11} b\right)^2 \]

3. Calculons chaque terme séparément :

   • \(\left(\frac{11}{10} a\right)^2 = \frac{121}{100} a^2\)
   • \(-2 \times \frac{11}{10} a \times \frac{4}{11} b = -2 \times \frac{44}{110} a b = -2 \times \frac{4}{10} a b = -\frac{8}{10} a b = -\frac{4}{5} a b\)
   • \(\left(\frac{4}{11} b\right)^2 = \frac{16}{121} b^2\)

4. Assemblons les termes : \[ \frac{121}{100} a^2 - \frac{4}{5} a b + \frac{16}{121} b^2 \]

Réponse finale : \[ \left(\frac{11}{10} a - \frac{4}{11} b\right)^2 = \frac{121}{100} a^2 - \frac{4}{5} a b + \frac{16}{121} b^2 \]

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6) Développez l’expression suivante :

\[(7 - 0,7\, b)^2\]

Solution :

Nous devons développer le carré d’une différence en utilisant la formule : \[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\]

Appliquons cette formule à notre expression.

1. Identifions \(x\) et \(y\) :

   • \(x = 7\)
   • \(y = 0,7\, b\)

2. Appliquons la formule : \[ (7 - 0,7\, b)^2 = 7^2 - 2 \times 7 \times 0,7\, b + (0,7\, b)^2 \]

3. Calculons chaque terme séparément :

   • \(7^2 = 49\)
   • \(-2 \times 7 \times 0,7\, b = -9,8\, b\) (puisque \(2 \times 7 = 14\) et \(14 \times 0,7 = 9,8\))
   • \((0,7\, b)^2 = 0,49\, b^2\)

4. Assemblons les termes : \[ 49 - 9,8\, b + 0,49\, b^2 \]

Réponse finale : \[ (7 - 0,7\, b)^2 = 49 - 9,8\, b + 0,49\, b^2 \]

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Conclusion

Chaque expression a été développée en appliquant les formules de développement des carrés de sommes et de différences. Les étapes illustrent le processus de multiplication et de simplification nécessaire pour arriver à la forme développée finale.