Exercice 4

Question : Développe et réduis les expressions suivantes :

1. \((b + 4)^{2}\)

2. \((3x - 2)^{2}\)

3. \((5y + 1)^{2}\)

4. \((7x - 3y)^{2}\)

5. \((2x + y)(2x - y)\)

6. \((6a - 4b)^{2}\)

7. \((4a + 5b)(4a - 5b)\)

8. \((5x - 2)(5x + 2)\)

9. \((8x + 6y)(8x - 6y)\)

10. \((9a + 7b)^{2}\)

Réponse

Réponses : a) b² + 8b + 16
b) 9x² – 12x + 4
c) 25y² + 10y + 1
d) 49x² – 42xy + 9y²
e) 4x² – y²
f) 36a² – 48ab + 16b²
g) 16a² – 25b²
h) 25x² – 4
i) 64x² – 36y²
j) 81a² + 126ab + 49b²

Corrigé détaillé

Nous allons développer et réduire chacune des expressions en utilisant les identités remarquables suivantes :

1. Pour le carré d’un binôme :
     (A + B)² = A² + 2AB + B²
     (A – B)² = A² – 2AB + B²

2. Pour le produit d’une somme et d’une différence :
     (A + B)(A – B) = A² – B²

Expliquons chaque exercice étape par étape.

────────────────────────────── a) Développer (b + 4)²

Étape 1 : Identifier A = b et B = 4.
Étape 2 : Appliquer la formule du carré d’un binôme :
  (b + 4)² = b² + 2 × b × 4 + 4²
  = b² + 8b + 16

────────────────────────────── b) Développer (3x – 2)²

Étape 1 : Identifier A = 3x et B = 2 (en notant que le signe « – » s’intègre dans le terme 2).
Étape 2 : Appliquer la formule :
  (3x – 2)² = (3x)² – 2 × (3x) × 2 + 2²
  = 9x² – 12x + 4

────────────────────────────── c) Développer (5y + 1)²

Étape 1 : Identifier A = 5y et B = 1.
Étape 2 : Appliquer la formule :
  (5y + 1)² = (5y)² + 2 × (5y) × 1 + 1²
  = 25y² + 10y + 1

────────────────────────────── d) Développer (7x – 3y)²

Étape 1 : Identifier A = 7x et B = 3y (le signe « – » étant pris dans B).
Étape 2 : Appliquer la formule :
  (7x – 3y)² = (7x)² – 2 × (7x) × (3y) + (3y)²
  = 49x² – 42xy + 9y²

────────────────────────────── e) Développer (2x + y)(2x – y)

Étape 1 : Remarquer qu’il s’agit du produit d’une somme et d’une différence.
Étape 2 : Appliquer la formule correspondante :
  (2x + y)(2x – y) = (2x)² – (y)²
  = 4x² – y²

────────────────────────────── f) Développer (6a – 4b)²

Étape 1 : Identifier A = 6a et B = 4b (le signe « – » est inclus dans la formule).
Étape 2 : Appliquer la formule du carré d’un binôme :
  (6a – 4b)² = (6a)² – 2 × (6a) × (4b) + (4b)²
  = 36a² – 48ab + 16b²

────────────────────────────── g) Développer (4a + 5b)(4a – 5b)

Étape 1 : Il s’agit encore d’un produit d’une somme et d’une différence.
Étape 2 : Appliquer la formule :
  (4a + 5b)(4a – 5b) = (4a)² – (5b)²
  = 16a² – 25b²

────────────────────────────── h) Développer (5x – 2)(5x + 2)

Étape 1 : Reconnaitre le produit d’une somme et d’une différence.
Étape 2 : Appliquer la même formule :
  (5x – 2)(5x + 2) = (5x)² – (2)²
  = 25x² – 4

────────────────────────────── i) Développer (8x + 6y)(8x – 6y)

Étape 1 : Ici également nous avons le produit d’une somme et d’une différence.
Étape 2 : Appliquer la formule :
  (8x + 6y)(8x – 6y) = (8x)² – (6y)²
  = 64x² – 36y²

────────────────────────────── j) Développer (9a + 7b)²

Étape 1 : Identifier A = 9a et B = 7b.
Étape 2 : Appliquer la formule du carré d’un binôme :
  (9a + 7b)² = (9a)² + 2 × (9a) × (7b) + (7b)²
  = 81a² + 126ab + 49b²

────────────────────────────── Ainsi, les résultats développés et réduits sont :

1. b² + 8b + 16
   
2. 9x² – 12x + 4
   
3. 25y² + 10y + 1
   
4. 49x² – 42xy + 9y²
   
5. 4x² – y²
   
6. 36a² – 48ab + 16b²
   
7. 16a² – 25b²
   
8. 25x² – 4
   
9. 64x² – 36y²
   
10. 81a² + 126ab + 49b²