Développez l’expression \(\left(3 a^{2} x - 2 a x^{2}\right)^{2}\).
Développez l’expression \(\left(2 x^{3} - 5 x y^{4}\right)^{2}\).
Développez l’expression \(\left(5 a^{2} b + 7 a b^{2}\right)^{2}\).
Développez l’expression \(\left(2 a^{3} - b^{3}\right)^{2}\).
Effectuez le produit des expressions \(\left(\frac{1}{2} a^{2} x - 7 a^{3}\right)\) et \(\left(7 a^{3} + \frac{1}{2} a^{2} x\right)\).
Effectuez le produit des expressions \(\left(3 a^{4} - a b^{4}\right)\) et \(\left(-a b^{4} + 3 a^{4}\right)\).
Voici le résumé très court :
Voici la correction détaillée de chaque exercice :
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Exercice 1. Développez l’expression (3a²x – 2ax²)².
Nous avons ici le carré d’une différence. La formule à retenir est : (u – v)² = u² – 2uv + v²
On identifie : u = 3a²x et v = 2ax²
Calcul de u² : (3a²x)² = 3² · (a²)² · x² = 9a⁴x²
Calcul de –2uv : –2 · (3a²x) · (2ax²) = –2 · 3 · 2 · a² · a · x · x² = –12 a³x³
Calcul de v² : (2ax²)² = 2² · a² · (x²)² = 4a²x⁴
En mettant le tout ensemble, nous obtenons : 9a⁴x² – 12a³x³ + 4a²x⁴
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Exercice 2. Développez l’expression (2x³ – 5xy⁴)².
Ici encore, il s’agit du carré d’une différence, avec la même formule (u – v)² = u² – 2uv + v².
On choisit : u = 2x³ et v = 5xy⁴
u² : (2x³)² = 4x⁶
–2uv : –2 · (2x³) · (5xy⁴) = –20 x⁴y⁴ (puisque x³ · x = x⁴)
v² : (5xy⁴)² = 25x²y⁸
Donc, le développement donne : 4x⁶ – 20x⁴y⁴ + 25x²y⁸
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Exercice 3. Développez l’expression (5a²b + 7ab²)².
Ici, il s’agit du carré d’une somme. La formule est : (u + v)² = u² + 2uv + v²
On pose : u = 5a²b et v = 7ab²
u² : (5a²b)² = 25a⁴b²
2uv : 2 · (5a²b) · (7ab²) = 70a³b³
v² : (7ab²)² = 49a²b⁴
Ainsi, on obtient : 25a⁴b² + 70a³b³ + 49a²b⁴
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Exercice 4. Développez l’expression (2a³ – b³)².
Utilisons la formule du carré d’une différence : (u – v)² = u² – 2uv + v².
Ici : u = 2a³ et v = b³
u² : (2a³)² = 4a⁶
–2uv : –2 · (2a³) · (b³) = –4a³b³
v² : (b³)² = b⁶
La somme donne : 4a⁶ – 4a³b³ + b⁶
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Exercice 5. Effectuez le produit des expressions (½a²x – 7a³) et (7a³ +
½a²x).
Pour multiplier ces deux expressions, on utilise la distributivité (méthode du “développement en croix”).
Écrivez les deux facteurs sous la forme : (½a²x – 7a³) × (7a³ + ½a²x)
Procédons terme par terme :
Premier terme du 1er facteur multiplié par le premier terme du 2e facteur : (½a²x) × (7a³) = (7/2)a^(2+3)x = (7/2)a⁵x
Premier terme du 1er facteur multiplié par le deuxième terme du 2e facteur : (½a²x) × (½a²x) = (1/4)a^(2+2)x² = (1/4)a⁴x²
Deuxième terme du 1er facteur multiplié par le premier terme du 2e facteur : (–7a³) × (7a³) = –49a^(3+3) = –49a⁶
Deuxième terme du 1er facteur multiplié par le deuxième terme du 2e facteur : (–7a³) × (½a²x) = –(7/2)a^(3+2)x = –(7/2)a⁵x
On remarque que les termes (7/2)a⁵x et –(7/2)a⁵x se compensent (ils s’annulent).
Il reste donc : (1/4)a⁴x² – 49a⁶
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Exercice 6. Effectuez le produit des expressions (3a⁴ – ab⁴) et (–ab⁴ +
3a⁴).
Ici, les deux facteurs contiennent les mêmes termes mais dans un ordre différent. Pour le produit, nous développons en multipliant chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.
Multiplication du premier terme du 1er facteur par le premier terme du 2e facteur : 3a⁴ × (–ab⁴) = –3a^(4+1)b⁴ = –3a⁵b⁴
Multiplication du premier terme du 1er facteur par le deuxième terme du 2e facteur : 3a⁴ × 3a⁴ = 9a^(4+4) = 9a⁸
Multiplication du deuxième terme du 1er facteur par le premier terme du 2e facteur : (–ab⁴) × (–ab⁴) = a²b⁸ (Remarquez que le produit de deux négatifs donne un positif.)
Multiplication du deuxième terme du 1er facteur par le deuxième terme du 2e facteur : (–ab⁴) × 3a⁴ = –3a^(1+4)b⁴ = –3a⁵b⁴
Rassemblons les termes obtenus : –3a⁵b⁴ – 3a⁵b⁴ = –6a⁵b⁴ (puisque ce sont deux termes semblables) Ensuite, on a 9a⁸ et a²b⁸
Le résultat final est donc : 9a⁸ – 6a⁵b⁴ + a²b⁸
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Conclusion :
Chaque étape a été expliquée pour faciliter la compréhension de la méthode de développement.