Exercice 2

Calculer à l’aide des produits remarquables :

\(101 \cdot 99\)
\(69^{2}\)
\(201 \cdot 199\)
\(49 \cdot 51\)
\(71^{2}\)
\(72 \cdot 68\)

Réponse

Les solutions sont :

\(101 \times 99 = 9999\)
\(69^2 = 4761\)
\(201 \times 199 = 39999\)
\(49 \times 51 = 2499\)
\(71^2 = 5041\)
\(72 \times 68 = 4896\)

Résolus en utilisant les produits remarquables.

Corrigé détaillé

Correction des exercices

Nous allons résoudre chaque exercice en utilisant les produits remarquables. Ces formules permettent de simplifier les calculs en reconnaissant des motifs spécifiques dans les expressions algébriques.

1) Calculer \(101 \times 99\)

Étape 1 : Reconnaître la forme des nombres.

Les nombres 101 et 99 peuvent être exprimés comme \(100 + 1\) et \(100 - 1\) respectivement.

\[ 101 \times 99 = (100 + 1)(100 - 1) \]

Étape 2 : Utiliser le produit remarquable de la différence de deux carrés.

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Dans notre cas, \(a = 100\) et \(b = 1\).

\[ (100 + 1)(100 - 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999 \]

Réponse : \(101 \times 99 = 9999\)

2) Calculer \(69^2\)

Étape 1 : Reconnaître que le carré d’un nombre proche de 70 peut être simplifié.

\[ 69 = 70 - 1 \]

Étape 2 : Utiliser le produit remarquable du carré d’une différence.

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Ici, \(a = 70\) et \(b = 1\).

\[ (70 - 1)^2 = 70^2 - 2 \times 70 \times 1 + 1^2 = 4900 - 140 + 1 = 4761 \]

Réponse : \(69^2 = 4761\)

3) Calculer \(201 \times 199\)

Étape 1 : Exprimer les nombres autour de 200.

\[ 201 = 200 + 1 \\ 199 = 200 - 1 \]

Étape 2 : Utiliser le produit remarquable de la différence de deux carrés.

\[ (200 + 1)(200 - 1) = 200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999 \]

Réponse : \(201 \times 199 = 39999\)

4) Calculer \(49 \times 51\)

Étape 1 : Remarquer que 49 et 51 sont autour de 50.

\[ 49 = 50 - 1 \\ 51 = 50 + 1 \]

Étape 2 : Appliquer le produit remarquable de la différence de deux carrés.

\[ (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499 \]

Réponse : \(49 \times 51 = 2499\)

5) Calculer \(71^2\)

Étape 1 : Décomposer 71 en une somme facile à manipuler.

\[ 71 = 70 + 1 \]

Étape 2 : Utiliser le produit remarquable du carré d’une somme.

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Ici, \(a = 70\) et \(b = 1\).

\[ (70 + 1)^2 = 70^2 + 2 \times 70 \times 1 + 1^2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 \]

Réponse : \(71^2 = 5041\)

6) Calculer \(72 \times 68\)

Étape 1 : Identifier un nombre moyen autour duquel les deux nombres se situent.

\[ 72 = 70 + 2 \\ 68 = 70 - 2 \]

Étape 2 : Utiliser le produit remarquable de la différence de deux carrés.

\[ (70 + 2)(70 - 2) = 70^2 - 2^2 = 4900 - 4 = 4896 \]

Réponse : \(72 \times 68 = 4896\)