Exercice 1

Développez les expressions suivantes :

\((x + 1)^{2}\)
\((3x - 3 + 2y)^{2}\)
\((2a + b - 4)^{2}\)
\((2x - 3y + 1)^{2}\)
\((x - y - 1)^{2}\)
\((a + b + c)^{2}\)

Réponse

Voici les réponses finales des exercices :

\(x^2 + 2x + 1\)
\(9x^2 + 4y^2 + 12xy - 18x - 12y + 9\)
\(4a^2 + b^2 + 4ab - 16a - 8b + 16\)
\(4x^2 + 9y^2 - 12xy + 4x - 6y + 1\)
\(x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 2y + 1\)
\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)

Corrigé détaillé

Bien sûr, voici les corrections détaillées pour chaque exercice de développement des expressions données.

1. Développez l’expression suivante : \((x + 1)^{2}\)

Étape 1 : Comprendre l’expression à développer

Nous avons l’expression \((x + 1)^{2}\). Il s’agit d’un carré d’une somme, ce qui signifie que nous devons multiplier \((x + 1)\) par lui-même.

Étape 2 : Appliquer la formule de développement d’un carré d’une somme

La formule générale pour développer \((a + b)^2\) est : \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

Dans notre cas, \(a = x\) et \(b = 1\).

Étape 3 : Appliquer la formule avec les valeurs spécifiques

En remplaçant \(a\) et \(b\) dans la formule : \[(x + 1)^2 = x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2\]

Étape 4 : Calculer chaque terme

\(x^2\) reste \(x^2\).
\(2 \times x \times 1 = 2x\).
\(1^2 = 1\).

Étape 5 : Assembler les termes développés

Donc : \[(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\]

Réponse Finale : \[x^2 + 2x + 1\]

2. Développez l’expression suivante : \((3x - 3 + 2y)^{2}\)

Étape 1 : Identifier les termes à développer

Nous avons l’expression \((3x - 3 + 2y)^{2}\), qui est le carré d’un trinôme.

Étape 2 : Utiliser la formule du carré d’un trinôme

La formule générale pour développer \((a + b + c)^2\) est : \[(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\]

Dans notre cas : - \(a = 3x\) - \(b = -3\) - \(c = 2y\)

Étape 3 : Appliquer la formule avec les valeurs spécifiques

\[ (3x - 3 + 2y)^2 = (3x)^2 + (-3)^2 + (2y)^2 + 2 \times 3x \times (-3) + 2 \times 3x \times 2y + 2 \times (-3) \times 2y \]

Étape 4 : Calculer chaque terme

\((3x)^2 = 9x^2\)
\((-3)^2 = 9\)
\((2y)^2 = 4y^2\)
\(2 \times 3x \times (-3) = -18x\)
\(2 \times 3x \times 2y = 12xy\)
\(2 \times (-3) \times 2y = -12y\)

Étape 5 : Assembler les termes développés

\[ 9x^2 + 9 + 4y^2 - 18x + 12xy - 12y \]

Réponse Finale : \[9x^2 + 4y^2 + 12xy - 18x - 12y + 9\]

3. Développez l’expression suivante : \((2a + b - 4)^{2}\)

Étape 1 : Identifier les termes à développer

Nous avons l’expression \((2a + b - 4)^{2}\), qui est le carré d’un trinôme.

Étape 2 : Utiliser la formule du carré d’un trinôme

La formule générale est : \[(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\]

Dans notre cas : - \(a = 2a\) - \(b = b\) - \(c = -4\)

Étape 3 : Appliquer la formule avec les valeurs spécifiques

\[ (2a + b - 4)^2 = (2a)^2 + b^2 + (-4)^2 + 2 \times 2a \times b + 2 \times 2a \times (-4) + 2 \times b \times (-4) \]

Étape 4 : Calculer chaque terme

\((2a)^2 = 4a^2\)
\(b^2 = b^2\)
\((-4)^2 = 16\)
\(2 \times 2a \times b = 4ab\)
\(2 \times 2a \times (-4) = -16a\)
\(2 \times b \times (-4) = -8b\)

Étape 5 : Assembler les termes développés

\[ 4a^2 + b^2 + 16 + 4ab - 16a - 8b \]

Réponse Finale : \[4a^2 + b^2 + 4ab - 16a - 8b + 16\]

4. Développez l’expression suivante : \((2x - 3y + 1)^{2}\)

Étape 1 : Identifier les termes à développer

Nous avons l’expression \((2x - 3y + 1)^{2}\), qui est le carré d’un trinôme.

Étape 2 : Utiliser la formule du carré d’un trinôme

\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

Dans notre cas : - \(a = 2x\) - \(b = -3y\) - \(c = 1\)

Étape 3 : Appliquer la formule avec les valeurs spécifiques

\[ (2x - 3y + 1)^2 = (2x)^2 + (-3y)^2 + (1)^2 + 2 \times 2x \times (-3y) + 2 \times 2x \times 1 + 2 \times (-3y) \times 1 \]

Étape 4 : Calculer chaque terme

\((2x)^2 = 4x^2\)
\((-3y)^2 = 9y^2\)
\((1)^2 = 1\)
\(2 \times 2x \times (-3y) = -12xy\)
\(2 \times 2x \times 1 = 4x\)
\(2 \times (-3y) \times 1 = -6y\)

Étape 5 : Assembler les termes développés

\[ 4x^2 + 9y^2 + 1 - 12xy + 4x - 6y \]

Réponse Finale : \[4x^2 + 9y^2 - 12xy + 4x - 6y + 1\]

5. Développez l’expression suivante : \((x - y - 1)^{2}\)

Étape 1 : Identifier les termes à développer

Nous avons l’expression \((x - y - 1)^{2}\), qui peut être vue comme le carré d’un trinôme.

Étape 2 : Utiliser la formule du carré d’un trinôme

\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

Ici, il est plus commode de considérer : \[ (x - y - 1)^2 = (x + (-y) + (-1))^2 \]

Donc : - \(a = x\) - \(b = -y\) - \(c = -1\)

Étape 3 : Appliquer la formule avec les valeurs spécifiques

\[ (x - y - 1)^2 = x^2 + (-y)^2 + (-1)^2 + 2 \times x \times (-y) + 2 \times x \times (-1) + 2 \times (-y) \times (-1) \]

Étape 4 : Calculer chaque terme

\(x^2 = x^2\)
\((-y)^2 = y^2\)
\((-1)^2 = 1\)
\(2 \times x \times (-y) = -2xy\)
\(2 \times x \times (-1) = -2x\)
\(2 \times (-y) \times (-1) = 2y\)

Étape 5 : Assembler les termes développés

\[ x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y \]

Réponse Finale : \[x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 2y + 1\]

6. Développez l’expression suivante : \((a + b + c)^{2}\)

Étape 1 : Identifier les termes à développer

Nous avons l’expression \((a + b + c)^{2}\), qui est le carré d’un trinôme.

Étape 2 : Utiliser la formule du carré d’un trinôme

\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

Étape 3 : Appliquer la formule avec les valeurs spécifiques

En remplaçant directement dans la formule : \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

Étape 4 : Résultat final

L’expression développée est simplement : \[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

Réponse Finale : \[a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\]

J’espère que ces explications détaillées vous aideront à mieux comprendre le développement des expressions algébriques !