Exercices corrigés - Identités remarquables - 11e

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Exercice 1

Difficulté : 40/100

Développez les expressions suivantes :

  1. \((x + 1)^{2}\)
  2. \((3x - 3 + 2y)^{2}\)
  3. \((2a + b - 4)^{2}\)
  4. \((2x - 3y + 1)^{2}\)
  5. \((x - y - 1)^{2}\)
  6. \((a + b + c)^{2}\)

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Exercice 2

Difficulté : 20/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \(101 \cdot 99\)
  2. \(69^{2}\)
  3. \(201 \cdot 199\)
  4. \(49 \cdot 51\)
  5. \(71^{2}\)
  6. \(72 \cdot 68\)

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Exercice 3

Difficulté : 50/100

  1. Développez l’expression \(\left(3 a^{2} x - 2 a x^{2}\right)^{2}\).

  2. Développez l’expression \(\left(2 x^{3} - 5 x y^{4}\right)^{2}\).

  3. Développez l’expression \(\left(5 a^{2} b + 7 a b^{2}\right)^{2}\).

  4. Développez l’expression \(\left(2 a^{3} - b^{3}\right)^{2}\).

  5. Effectuez le produit des expressions \(\left(\frac{1}{2} a^{2} x - 7 a^{3}\right)\) et \(\left(7 a^{3} + \frac{1}{2} a^{2} x\right)\).

  6. Effectuez le produit des expressions \(\left(3 a^{4} - a b^{4}\right)\) et \(\left(-a b^{4} + 3 a^{4}\right)\).

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Exercice 4

Difficulté : 40/100

Question : Développe et réduis les expressions suivantes :

  1. \((b + 4)^{2}\)

  2. \((3x - 2)^{2}\)

  3. \((5y + 1)^{2}\)

  4. \((7x - 3y)^{2}\)

  5. \((2x + y)(2x - y)\)

  6. \((6a - 4b)^{2}\)

  7. \((4a + 5b)(4a - 5b)\)

  8. \((5x - 2)(5x + 2)\)

  9. \((8x + 6y)(8x - 6y)\)

  10. \((9a + 7b)^{2}\)

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Exercice 5

Difficulté : 20/100

  1. Développez l’expression \((x + 4)^{2}\).

  2. Développez l’expression \((7a + b)^{2}\).

  3. Développez l’expression \((3 + b)^{2}\).

  4. Développez l’expression \((b + 3x)^{2}\).

  5. Développez l’expression \((2x + y)^{2}\).

  6. Développez l’expression \((x + 5y)^{2}\).

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Exercice 6

Difficulté : 20/100

  1. Développez l’expression \((4u - 5v)^{2}\).

  2. Développez l’expression \((3x - 15y)^{2}\).

  3. Développez l’expression \(\left(6a - 6b^{2}\right)^{2}\).

  4. Développez l’expression \(\left(2ab - 4b^{2}\right)^{2}\).

  5. Développez l’expression \((0,1u - 4t)^{2}\).

  6. Développez l’expression \(\left(7d^{2} - 3d\right)^{2}\).

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Exercice 7

Difficulté : 25/100

  1. Développer l’expression \((3a - 2b)^{2}\).

  2. Développer l’expression \((6a + b)^{2}\).

  3. Développer l’expression \((4a - 7)^{2}\).

  4. Développer l’expression \((2 - 2b)^{2}\).

  5. Calculer le produit de \((3x - z) \cdot (3x + z)\).

  6. Développer l’expression \((10a - 7b)^{2}\).

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Exercice 8

Difficulté : 25/100

Développez les expressions suivantes :

  1. \[(0,1\, a - b)^2\]

  2. \[\left(\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b\right)^2\]

  3. \[\left(\frac{1}{2} b + \frac{2}{3} a\right) \cdot \left(\frac{1}{2} b - \frac{2}{3} a\right)\]

  4. \[\left(\frac{4}{5} x y - \frac{5}{4}\right)^2\]

  5. \[\left(\frac{11}{10} a - \frac{4}{11} b\right)^2\]

  6. \[(7 - 0,7\, b)^2\]

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Exercice 9

Difficulté : 35/100

Soient les polynômes suivants :

Formez les polynômes suivants :

  1. \((X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}\)
  2. \(X^{2} - Y^{2}\)
  3. \(2XY - (X - Y)^{2} + (X + Y)(X - Y)\)

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Exercice 10

Difficulté : 30/100

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

  1. \(9 a^{4} - 16 b^{2}\)
  2. \(x^{2} + x - 20\)
  3. \(\frac{1}{4} a^{2} + 2 a b + 4 b^{2}\)
  4. \(9 a^{2} - 4 b^{2}\)
  5. \(0,01 x^{2} - 0,6 x y + 9 y^{2}\)
  6. \(x^{2} + 6 x - 16\)

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Exercice 11

Difficulté : 40/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \((a+b+c)^{2}\)
  2. \((2 a - b - c)^{2}\)
  3. \((3 x - 2 y -1)^{2}\)
  4. \((a + b -1)^{2}\)
  5. \((2 a -3 b + 2 c)^{2}\)
  6. \((3 a - b + c)^{2}\)

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Exercice 12

Difficulté : 35/100

Calculez à l’aide des produits remarquables :

  1. \(\left(\dfrac{1}{y^{2}} + y^{2}\right)^{2}\)

  2. \(\left(3\, a^{n-1} - 2\, a^{2n}\right)^{2}\)

  3. \(\left(2\, a^{n} - a^{n+1}\right)^{2}\)

  4. \(\left(4\, a^{3n} + 3\, a^{2n}\right) \cdot \left(4\, a^{3n} - 3\, a^{2n}\right)\)

  5. \(\left(\dfrac{1}{3}\, a^{3n} - a^{2n}\right)^{2}\)

  6. \(\left(0,1\, a^{n} - 0,1\, a^{n+1}\right) \cdot \left(0,1\, a^{n+1} + 0,1\, a^{n}\right)\)

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Exercice 13

Difficulté : 30/100

  1. Simplifiez l’expression suivante : \[(x - 1)^2 - a^2\]

  2. Simplifiez l’expression suivante : \[(3a - b)^2 - 25a^2\]

  3. Simplifiez l’expression suivante : \[(x - 1)^2 - 16y^2\]

  4. Simplifiez l’expression suivante : \[(2a - b)^2 - (a + b)^2\]

  5. Simplifiez l’expression suivante : \[25x^4 - (a + 2b)^2\]

  6. Simplifiez l’expression suivante : \[(2x - y)^2 - (x + 3y)^2\]

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Exercice 14

Difficulté : 20/100

Indiquez pourquoi chacune des identités suivantes est vraie :

\[ \begin{array}{ll} 5 \cdot(2 a+b)=5 \cdot(b+2 a) & (3 a+2 b)+c=3 a+(2 b+c) \\ 4 \cdot(a+b)=4 a+4 b & 7 \cdot(a \cdot b)=(a \cdot b) \cdot 7 \\ 5 a \cdot(3 b \cdot c)=(5 a \cdot 3 b) \cdot c & (a+b) \cdot 5=5 \cdot(a+b) \end{array} \]

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Exercice 15

Difficulté : 40/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \(39 \cdot 41\)
  2. \(19^{2}\)
  3. \(201^{2}\)
  4. \(21^{2}\)
  5. \(61 \cdot 59\)
  6. \(18 \cdot 22\)

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Exercice 16

Difficulté : 20/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \(41 \cdot 39\)

  2. \(41^{2}\)

  3. \(53 \cdot 47\)

  4. \(47^{2}\)

  5. \(105 \cdot 95\)

  6. \(105^{2}\)

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Exercice 17

Difficulté : 40/100

  1. Développez l’expression suivante : \(\left(\dfrac{1}{2}a + 3b\right)^{2}\).

  2. Développez l’expression suivante : \(\left(\dfrac{1}{5}x^{2} + 10y^{2}\right)^{2}\).

  3. Développez l’expression suivante : \(\left(0,2xy + 10x^{2}\right)^{2}\).

  4. Développez l’expression suivante : \((3a + 7) \cdot (3a + 7)\).

  5. Développez l’expression suivante : \(\left(\dfrac{1}{3}x^{3} + y^{3}\right) \cdot \left(y^{3} + \dfrac{1}{3}x^{3}\right)\).

  6. Développez l’expression suivante : \(\left(7a + \dfrac{3}{7}b\right)^{2}\).

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Exercice 18

Difficulté : 25/100

  1. Simplifiez \((w - 4)^{2}\).
  2. Simplifiez \((6x - y)^{2}\).
  3. Simplifiez \((12 - c)^{2}\).
  4. Simplifiez \((t - 4u)^{2}\).
  5. Simplifiez \((4b - d)^{2}\).
  6. Simplifiez \((e - 5d)^{2}\).

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Exercice 19

Difficulté : 40/100

  1. Développez \(\left(\frac{1}{3} u - 3 v\right)^{2}\).

  2. Développez \(\left(\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} y^{2}\right)^{2}\).

  3. Développez \(\left(0,3 a b - 10 b^{2}\right)^{2}\).

  4. Développez \((12 a - 5) \cdot (12 a - 5)\).

  5. Développez \(\left(\frac{1}{4} a^{2} - b\right) \cdot \left(-b + \frac{1}{4} a^{2}\right)\).

  6. Développez \(\left(\frac{1}{16} x^{3} - 8 x y^{4}\right)^{2}\).

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Exercice 20

Difficulté : 20/100

  1. Développez \(\left(2x - y\right) \cdot \left(2x + y\right)\).

  2. Développez \(\left(x - 4\right) \cdot \left(x + 4\right)\).

  3. Développez \(\left(2u + 3\right) \cdot \left(2u - 3\right)\).

  4. Développez \(\left(3v - 4t\right) \cdot \left(3v + 4t\right)\).

  5. Développez \(\left(10x^{2} + y\right) \cdot \left(10x^{2} - y\right)\).

  6. Développez \(\left(5z + 25\right) \cdot \left(5z - 25\right)\).

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Exercice 21

Difficulté : 30/100

  1. Calculez le produit de \(\left(\frac{1}{2} a + b\right)\) et \(\left(b - \frac{1}{2} a\right)\).

  2. Calculez le produit de \(\left(0,1 x^{2} + y\right)\) et \(\left(-0,1 x^{2} + y\right)\).

  3. Calculez le produit de \(\left(3 x^{2} + x y^{2}\right)\) et \(\left(3 x^{2} - x y^{2}\right)\).

  4. Calculez le produit de \(\left(w^{2} + t\right)\) et \(\left(t - w^{2}\right)\).

  5. Calculez le produit de \(\left(8 a^{3} + b\right)\) et \(\left(8 a^{3} - b\right)\).

  6. Calculez le produit de \(\left(x^{4} + y^{6}\right)\) et \(\left(-y^{6} + x^{4}\right)\).

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Exercice 22

Difficulté : 20/100

Développez les expressions suivantes :

  1. \((x+3)^{2}\)
  2. \((x-2) \cdot (x+2)\)
  3. \((3x + y)^{2}\)
  4. \((a - 3) \cdot (a + 3)\)
  5. \((y + 5)^{2}\)
  6. \((3 - y)^{2}\)

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Exercice 23

Difficulté : 20/100

  1. Développez \((a + 3)^{2}\).

  2. Développez \((2y - x)^{2}\).

  3. Développez \((2x + 5)^{2}\).

  4. Calculez \((x - 7) \cdot (x + 7)\).

  5. Développez \((2a + 1)^{2}\).

  6. Développez \((2x + 2y)^{2}\).

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Exercice 24

Difficulté : 20/100

  1. Développer l’expression \((x - 3)^{2}\).

  2. Développer le produit \((a - 2b) \cdot (a + 2b)\).

  3. Développer l’expression \((7x + 1)^{2}\).

  4. Développer le produit \((2x - y) \cdot (2x + y)\).

  5. Développer l’expression \((2y - 3)^{2}\).

  6. Développer l’expression \((y + 5x)^{2}\).

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Exercice 25

Difficulté : 50/100

  1. Développez \((2a - b)^2\).

  2. Développez \((a + 2b)^2\).

  3. Développez \((3x - y)^2\).

  4. Calculez le produit \((7a - 2b) \cdot (7a + 2b)\).

  5. Calculez le produit \((3x - 4y) \cdot (3x + 4y)\).

  6. Développez \((7w - v)^2\).

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Exercice 26

Difficulté : 35/100

  1. Développez l’expression \((7x - 2y)^{2}\).

  2. Développez l’expression \((3a + 2b)^{2}\).

  3. Développez l’expression \((2b - 7c)^{2}\).

  4. Développez l’expression \((4a - 2b)^{2}\).

  5. Développez l’expression \((7x - 12y)^{2}\).

  6. Effectuez le produit \((3x - 7y) \cdot (3x + 7y)\).

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Exercice 27

Difficulté : 40/100

  1. \(\left(2 a^{2}+b\right)^{2}\)
  2. \(\left(x^{2}+2 y\right)^{2}\)
  3. \(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\)
  4. \(\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \cdot\left(3 x^{2}+y^{2}\right)\)
  5. \(\left(2 a-b^{2}\right)^{2}\)
  6. \(\left(3 a^{2}-2 b^{2}\right)^{2}\)

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Exercice 28

Difficulté : 50/100

  1. Simplifiez l’expression suivante :

    \[\left(6 a^{3} - 4 b^{2}\right)^{2}\]

  2. Simplifiez l’expression suivante :

    \[\left(a^{5} + 1\right)^{2}\]

  3. Simplifiez l’expression suivante :

    \[\left(x^{3} + y^{3}\right) \cdot \left(x^{3} - y^{3}\right)\]

  4. Simplifiez l’expression suivante :

\[\left(2 y^{2} + x\right)^{2}\]

  1. Simplifiez l’expression suivante :

\[\left(6 x^{3} + 1\right) \cdot \left(6 x^{3} - 1\right)\]

  1. Simplifiez l’expression suivante :

\[\left(x^{2} - 3 y^{3}\right)^{2}\]

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Exercice 29

Difficulté : 40/100

  1. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(x^{2} + y^{2}\right) \cdot \left(x^{2} - y^{2}\right)\).

  2. Développez le carré de la somme : \(\left(8 a^{2} - 3 b^{2}\right)^{2}\).

  3. Calculez le carré de l’expression : \(\left(10 x^{2} + 1\right)^{2}\).

  4. Développez le carré de la somme : \(\left(a^{5} + b^{5}\right)^{2}\).

  5. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(3 x^{4} + 1\right) \cdot \left(3 x^{4} - 1\right)\).

  6. Calculez le carré de la différence : \(\left(x^{4} - y^{4}\right)^{2}\).

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Exercice 30

Difficulté : 40/100

  1. \(\left(3 x^{4} y - y x^{4}\right)^{2}\)
  2. \(\left(7 a^{2} b - 2 a^{2} b^{3}\right)^{2}\)
  3. \(\left(3 a^{3} - 2 a^{2}\right)^{2}\)
  4. \((4 a b c - 7 a b)^{2}\)
  5. \((2 a x - 7 b x) \cdot (2 a x - 7 b x)\)
  6. \(\left(3 a^{2} + b^{2}\right) \cdot \left(b^{2} + 3 a^{2}\right)\)

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Exercice 31

Difficulté : 50/100

  1. Développez l’expression : \(\left(4 a^{3} b - a^{2} b^{3}\right)^{2}\)

  2. Développez l’expression : \(\left(2 x^{4} y - \frac{1}{2} x y^{4}\right)^{2}\)

  3. Développez l’expression : \(\left(7 a^{3} - \frac{1}{7} a b^{3}\right)^{2}\)

  4. Simplifiez le produit suivant : \(\left(12 a^{4} - 11 a b\right) \cdot \left(11 a b + 12 a^{4}\right)\)

  5. Développez l’expression : \(\left(3 x^{4} y - 2 x y^{4}\right)^{2}\)

  6. Développez l’expression : \(\left(a^{2} b - a b^{2}\right)^{2}\)

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Exercice 32

Difficulté : 50/100

Calculez les produits suivants :

  1. \((x + a)(x - a)\left(x^{2} - a^{2}\right)\)
  2. \((2a - 1)(2a + 1)\left(4a^{2} + 1\right)\)
  3. \((x - 1)\left(x^{2} + 1\right)(x + 1)\)
  4. \((x + 2)(x - 2)\left(x^{4} + 16\right)\left(x^{2} + 4\right)\)
  5. \(\left(x^{2} - 1\right)\left(x^{2} + 1\right)\left(x^{4} - 8\right)\)
  6. \(\left(4a^{4} + 3\right)\left(2a^{2} + 1\right)\left(2a^{2} - 1\right)\)

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Exercice 33

Difficulté : 50/100

Effectuer les produits suivants

  1. \((3a + 2) \cdot (3a - 2) \cdot \left(9a^{2} - 4\right)\)
  2. \(\left(\frac{1}{3}x^{2} + y\right) \cdot \left(\frac{1}{9}x^{4} + y^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}x^{2} - y\right)\)
  3. \((x + 1) \cdot (x - 1) \cdot \left(x^{2} + 1\right) \cdot \left(x^{4} + 5\right)\)
  4. \(\left(3a + \frac{1}{2}b\right) \cdot \left(\frac{1}{2}b - 3a\right) \cdot \left(-9a^{2} + \frac{1}{4}b^{2}\right)\)
  5. \((3x - 6) \cdot (3x + 6) \cdot \left(9x^{2} + 6\right)\)
  6. \((3a - 1) \cdot (3a - 1) \cdot (3a + 1) \cdot (3a + 1)\)

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Exercice 34

Difficulté : 35/100

Factorisez les expressions suivantes à l’aide des produits remarquables :

  1. \(4a^{2} - 4ab + b^{2}\)

  2. \(9a^{2} + 12ab + b^{2}\)

  3. \(a^{4} + b^{2} - 2a^{2}b\)

  4. \(a^{2} + 2ab^{3} + b^{6}\)

  5. \(9x^{2} - 12xy + 4y^{2}\)

  6. \(4x^{2} + 25y^{2} + 20xy\)

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Exercice 35

Difficulté : 35/100

Factorisez à l’aide des produits remarquables :

  1. \(a^{2} - 1\)

  2. \(169 - b^{2}\)

  3. \(a^{6} - 4\)

  4. \(a^{2}b^{2} + 1\)

  5. \(x^{4} - 25\)

  6. \(-144 + b^{8}\)

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Exercice 36

Difficulté : 60/100

Factorisez à l’aide des produits remarquables :

  1. \(4x^{2} - 9\)
  2. \(\dfrac{1}{4} - w^{2}\)
  3. \(w^{2} - \dfrac{1}{4}\)
  4. \(25x^{2} - 8^{2}\)
  5. \(121 + x^{4}\)
  6. \(x^{16} - 16\)

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Exercice 37

Difficulté : 45/100

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

  1. \(100 w^{2} + 10 w t + \dfrac{1}{4} t^{2}\)

  2. \(x^{2} + 5 x - 50\)

  3. \(-64 + x^{2}\)

  4. \(x^{2} - 25\)

  5. \(x^{2} - 9 x - 22\)

  6. \(9 x^{4} + \dfrac{1}{16} y^{2} - \dfrac{3}{2} x^{2} y\)

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Exercice 38

Difficulté : 40/100

Question : Développe et réduis chacune des expressions suivantes :

\(\mathrm{A} = (y + 2)(y + 4)\)

\(B = (3y - 2)(y + 5)\)

\(C = (6v + 3)(-v + 2)\)

\(\mathrm{D} = (2 + m)(3m - 4)\)

\(\mathrm{E} = (4z - 1)(z + 6)\)

\(\mathrm{F} = (-2x + 5)(3x - 1)\)

\(\mathrm{G} = (2x + 3)(-x + 4) + (3x - 1)(2x + 5)\)

\(\mathrm{H} = 5x^{2} - (2x - 4)\)

\(K = (7x - 3)(-x + 2)\)

\(\mathrm{L} = (x - 4)(5x + 2)\)

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Exercice 39

Difficulté : 25/100

Question : Développe puis réduis chaque expression :

  1. \((x + 6)(x - 6) =\)

  2. \((y + 4)(y - 4) =\)

  3. \((3y - 2)(3y + 2) =\)

  4. \((2x + 8)(2x - 8) =\)

  5. \((-5x + 15)(-5x - 15) =\)

  6. \((-4x + 3)(4x + 3) =\)

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Exercice 40

Difficulté : 35/100

Question : Considérons les trois monômes :

\[ A = 4x^{3} \]

\[ B = 9 \]

\[ C = 6x^{2} \]

Calculez :

  1. \(A \cdot C\)

  2. \(A \cdot C + B^{2}\)

  3. \(A \cdot B + C\)

  4. \(2A + C^{2}\)

  5. \((A + B) \cdot C\)

  6. \((A + B)^{2}\)

  7. \(A^{2} + 2AB + B^{2}\)

  8. \(A^{2} + B^{2}\)

  9. \((A + B)(A - B)\)

  10. \(A^{2} - B^{2}\)

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Exercice 41

Difficulté : 20/100

Calculez les expressions suivantes :

  1. \((\sqrt{45} + \sqrt{5})^{2}\)

  2. \((\sqrt{21} + \sqrt{12})(\sqrt{21} - \sqrt{12})\)

  3. \((\sqrt{18} \cdot \sqrt{3})^{2}\)

  4. \((\sqrt{16} - \sqrt{4})^{2}\)

  5. \((35 + 1)^{2}\)

  6. \(88^{2}\)

  7. \((\sqrt{289} + \sqrt{169})(\sqrt{289} - \sqrt{169})\)

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Exercice 42

Difficulté : 40/100

Question : Factorise les polynômes suivants en te référant aux identités remarquables.

  1. \(16 z^{2} + 24 z + 9\)

  2. \(x^{2} - 10 x + 25\)

  3. \(49 m^{2} - 28 m n + 4 n^{2}\)

  4. \(36 k^{2} - 25 l^{2}\)

  5. \(y^{2} - 4 y + 4\)

  6. \(9 w^{4} - 16\)

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Exercice 43

Difficulté : 45/100

Question :

  1. Considérez les égalités suivantes : \[2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 = 3^{3}\] \[7 \cdot 8 \cdot 9 + 8 = 8^{3}\] \[15 \cdot 16 \cdot 17 + 16 = 16^{3}\]

  1. Écris trois égalités analogues à celles-ci et vérifie-les.

  2. Prouve que ce type d’égalité est toujours vrai.

  1. Faites de même pour ce type d’égalités : \[6^{2} - 5^{2} = 6 + 5\] \[14^{2} - 13^{2} = 14 + 13\] \[25^{2} - 24^{2} = 25 + 24\]

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Exercice 44

Difficulté : 40/100

Question :

  1. Développez et réduisez les expressions suivantes :
  1. Pouvez-vous, sans développer les polynômes, déterminer le résultat de \((x + 2)^{10}\) ?

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Exercice 45

Difficulté : 50/100

Question : Complète ces égalités le plus simplement possible.

  1. \((x + \quad)^{2} = x^{2} + \quad + 16\)

  2. \((\quad + 4)^{2} = 25x^{2} + \quad +\)

  3. \((x - \quad)^{2} = x^{2} - \quad x +\)

  4. \((\quad - \quad)^{2} = x^{2} - 20x + 100\)

  5. \((\quad + 2,5)^{2} = x^{2} + 5x +\)

  6. \((\quad - \quad)^{2} = 4x^{2} - \quad + 9\)

  7. \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{2} = \quad x + 4\)

  8. \(\left(\frac{x}{5} + \quad\right)^{2} = x^{2} + \quad x +\)

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Exercice 46

Difficulté : 50/100

Question : Il manque chaque fois un seul monôme pour que les polynômes ci-dessous soient des produits remarquables. Retrouve le monôme manquant et son signe, puis donne la forme factorisée de ce polynôme.

  1. \(64 x^{6} - 48 x^{4} y\)

  2. \(121 m^{2} + 22 m n\)

  3. \(36 p^{2} - 30 q^{2}\)

  4. \(49 x^{2} + 28 x y\)

  5. \(16 x^{2} +\)

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Exercice 47

Difficulté : 40/100

Question : Complète ces égalités le plus simplement possible.

  1. \[(x + \quad)^2 = \quad + \quad + 16\]

  2. \[(\quad - 3)^2 = 9y^{2} - \quad + \quad\]

  3. \[(x + \quad)^2 = \quad + 12x + \quad\]

  4. \[(\quad + \quad)^2 = \quad + 64x + 36\]

  5. \[(\quad - 2)^2 = \quad + 8x + \quad\]

  6. \[(\quad + \quad)^2 = y^{2} - \quad + 1,21\]

  7. \[\left(\quad - \frac{2}{5}\right)^2 = \quad + 4x + \quad\]

  8. \[\left(\frac{x}{3} + \quad\right)^2 = \quad - 2x + \quad\]

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Exercice 48

Difficulté : 45/100

Question : Il manque chaque fois un seul monôme pour que les polynômes ci-dessous soient des produits remarquables. Retrouve le monôme manquant et son signe, puis donne la forme factorisée de ce polynôme.

  1. \(64 x^{2} + 48 x y\)

  2. \(121 a^{2} - 22 a b\)

  3. \(25 m^{2} +\)

  4. \(100 z^{2} - 60 z t\)

  5. \(36 p^{2} +\)

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Exercice 49

Difficulté : 40/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \((a + b + c + d)^{2}\)

  2. \((3x + y + z)(3x - y - z)\)

  3. \((3a + b - c)(3a + b + c)\)

  4. \((2a - x - y)(2a + x + y)\)

  5. \((3b + a - 4)^{2}\)

  6. \((4x^{2} - y^{2} - z^{2})(z^{2} + y^{2} + 4x^{2})\)

Exercices de Développement

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Exercice 50

Difficulté : 35/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \((2x + y - z) \cdot (2x + y + z)\)
  2. \((3a - b + c) \cdot (3a + b - c)\)
  3. \((2x - y + 3)^{2}\)
  4. \((5a - b + c) \cdot (-5a - b + c)\)
  5. \((3v - 2w + z)^{2}\)
  6. \(\left(2a^{3} - 4b^{3} + c^{3}\right)^{2}\)

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Exercice 51

Difficulté : 50/100

  1. \[\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right) - a^{2}\]

  2. \[\left(4 y^{2}-4 y+1\right) - 169\]

  3. \[49 x^{4} - \left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)\]

  4. \[\left(x^{2}+6 x y+9 y^{2}\right) - 9 x^{2}\]

  5. \[(a - b)^{2} - \left(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}\right)\]

  6. \[\left(25 a^{2} + 1 - 10 a\right) - 9 a^{2}\]

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Exercice 52

Difficulté : 50/100

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

  1. \(x^{2} + 4x - 21\)

  2. \(\frac{1}{4}a^{2} + 16b^{2} + 4ab\)

  3. \(x^{2} + 4\)

  4. \(9a^{2} + 6ab + b^{2}\)

  5. \(9x^{8} - 49y^{2}\)

  6. \(\frac{1}{49}a^{6} - \frac{2}{7}a^{3}b + b^{2}\)

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Exercice 53

Difficulté : 45/100

Question : Calcule rapidement :

  1. \(104^{2} - 96^{2} =\)

  2. \(320^{2} - 310^{2} =\)

  3. \(115^{2} - 85^{2} =\)

  4. \(8750^{2} - 250^{2} =\)

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Exercice 54

Difficulté : 35/100

Effectue et réduis

  1. \((3z^2 - 4)^2 =\)

  2. \((5z^2 + 2)^2 =\)

  3. \((3z^2 \cdot 2)^2 =\)

  4. \((3z^2 + 2)(3z^2 - 2) =\)

  5. \((3z^2 + 2)(2 - 3z^2) =\)

  6. \((3z^2 + 2)(2z^2 - 3) =\)

  7. \((10w^2 - 3v)^2 =\)

  8. \((6w - 3v)(3v - 6w) =\)

  9. \((7w - 8v)(7w + 8v) =\)

  10. \((4c \cdot 2d)^2 =\)

  11. \((2c^2 - 3)(3 + 2c^2) =\)

  12. \((5d + 6e)^2 =\)

Effectue et réduis

  1. \(3b(b + c) =\)

  2. \(12z - 2z =\)

  3. \((3m - z)^2 =\)

  4. \((4m - 3)(z + 2) =\)

  5. \((4c - 3d) - (4c + 3d) =\)

  6. \((m + z + 2)^2 =\)

  7. \((5m^2 \cdot 3z)^2 =\)

  8. \((5u - 3)(w + 4) =\)

  9. \((3p - 4q)^2 =\)

  10. \(y^2(y - z)(y + z) =\)

  11. \((c + d + e)^2 =\)

  12. \((4m - 6n)(6m + 4n) =\)

  13. \((36m + 12n)(12n - 36m) =\)

  14. \(1.5(3b + 2c)^2 =\)

  15. \((b - 2 + c)^2 =\)

  16. \((7m - 2)^2 - (m + 9)^2 =\)

  17. \(20m - 4m \cdot (12 - 14m) =\)

  18. \((5 - 4m)(10m + 8) + (20m - 3)(2 - m) =\)

Effectue et réduis

  1. \(\left(\frac{2}{3}y + 6\right)^2 =\)

  2. \(\left(\frac{4}{3}y \cdot \frac{2}{5}z\right)^2 =\)

  3. \(\left(\frac{4}{9}y + \frac{4}{7}z\right)^2 =\)

  4. \(\left(\frac{3}{10}y + \frac{2}{10}z\right)\left(\frac{3}{10}y - \frac{2}{10}z\right) =\)

  5. \(\left(\frac{5}{8}y - \frac{2}{7}z\right) - \left(\frac{5}{8}y + \frac{2}{7}z\right) =\)

  6. \(\left(\frac{3}{4}y + 6z\right)\left(\frac{3}{4}y + 6z\right) =\)

  7. \(\left(\frac{3}{4}y + 4z\right)^2 =\)

  8. \(\left(\frac{2}{5}y - 4\right) - \left(4y + \frac{2}{5}\right) =\)

  9. \((2.\overline{3}y^2 - 1.\overline{3}z)^2 =\)

  10. \(\left(\frac{2}{5}y - \frac{2}{4}\right)\left(\frac{2}{4} + \frac{2}{5}y\right) =\)

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Exercice 55

Difficulté : 40/100

Développez les expressions suivantes en utilisant les produits remarquables :

  1. \(\left(a^{n} + b^{n}\right)^{2}\)
  2. \(\left(x^{2n} - y^{n}\right)^{2}\)
  3. \(\left(3x^{n} + y^{2}\right)^{2}\)
  4. \(\left(4x^{2n} + y^{n}\right)^{2}\)
  5. \(\left(x^{n-1} + x^{n+1}\right)^{2}\)
  6. \(\left(3a^{n} - 2a^{n-2}\right)^{2}\)

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Exercice 56

Difficulté : 30/100

  1. \((x + 1) \cdot (x - 2)\)
  2. \((x + 7) \cdot (x - 6)\)
  3. \((x - 9) \cdot (x - 3)\)
  4. \((x + 5) \cdot (x + 2)\)
  5. \((x + 8) \cdot (x + 2)\)
  6. \((x - 4) \cdot (x + 1)\)

Dans les exercices 13 à 18, développez chaque expression en utilisant une des identités remarquables :

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Exercice 57

Difficulté : 60/100

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

  1. \(x^{2} + 2xy + y^{2}\)
  2. \(4a^{2} + b^{2} + 4ab\)
  3. \(x^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4}\)
  4. \(4a^{2} - 4ax + x^{2}\)
  5. \(9a^{4} - 6a^{2}b^{3} + b^{6}\)
  6. \(x^{8} - 2x^{4}y^{3} + y^{6}\)

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Exercice 58

Difficulté : 30/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \((-4 a + 2 b + 3 a)^{2}\)
  2. \((x - 2 y + 4 x + y)^{2}\)
  3. \((2 v - w + 4 w - v)^{2}\)
  4. \(\left(-\frac{1}{3} a + 3 b + a\right)^{2}\)
  5. \(\left(5 a^{2} - 7 b^{2} + 2 a^{2} + 6 b^{2}\right)^{2}\)
  6. \((2 a - 5 b + a) \cdot (3 b + 3 a - 8 b)\)

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Exercice 59

Difficulté : 40/100

Calculer à l’aide des produits remarquables :

  1. \(\left(\frac{1}{2} x^{2} + 1\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} x^{2} - 1\right)^{2} - \frac{1}{2} x^{4} \cdot \left(2 - \frac{1}{2} x^{4}\right)\)

  2. \(-2 x^{2} \cdot (y - 2x)^{2} - \left(x^{2} + y\right) \cdot \left(x^{2} - y\right) + \frac{x^{2} y^{2}}{2}\)

  3. \(\left(a^{7} - b^{7}\right)^{2} \cdot \left(a^{7} + b^{7}\right)^{2} - \left(a^{14} + b^{14}\right)^{2}\)

  4. \(\left(\frac{1}{3} a^{3} - \frac{2}{3} b^{3}\right)^{2} - \left(\frac{2}{3} a^{3} - 2 b^{3}\right)^{2} + \left(a^{3} + b^{3}\right) \cdot \left(b^{3} - a^{3}\right)\)

  5. \((0{,}1\,a - 0{,}2\,b) \cdot (3\,a - 0{,}2\,b - 2{,}9\,a) - (2\,a - b)^{2}\)

  6. \((4x - 5y)^{2} \cdot (5y + 4x)^{2} - \left(2x^{2} + 3y^{2}\right)^{2}\)

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Exercice 60

Difficulté : 30/100

  1. Développer l’expression \((2x + 4y)^{2}\).

  2. Développer l’expression \((2a + 10b)^{2}\).

  3. Développer l’expression \((5x + 5y^{2})^{2}\).

  4. Développer l’expression \((3ab + 2b^{2})^{2}\).

  5. Développer l’expression \((0,3x + 3y)^{2}\).

  6. Développer l’expression \((5x^{2} + 3xy)^{2}\).

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Exercice 61

Difficulté : 40/100

  1. Développez l’expression suivante : \(\left(\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y\right)^{2}\)

  2. Développez l’expression suivante : \(\left(3x + \frac{1}{3}\right)^{2}\)

  3. Simplifiez le produit suivant : \(\left(\frac{2}{7}x - \frac{3}{4}y\right) \cdot \left(\frac{2}{7}x + \frac{3}{4}y\right)\)

  4. Simplifiez le produit suivant : \(\left(\frac{x}{4} - \frac{y}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{4} + \frac{y}{3}\right)\)

  5. Développez l’expression suivante : \(\left(\frac{3x}{5} - 1\right)^{2}\)

  6. Développez l’expression suivante : \(\left(\frac{1}{4}a + \frac{4}{5}b\right)^{2}\)

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Exercice 62

Difficulté : 35/100

Simplifiez les expressions suivantes :

  1. \((0,4a - 3b)^{2}\)
  2. \((6x + 0,1)^{2}\)
  3. \(\left(\dfrac{2}{5}x + \dfrac{1}{4}\right)^{2}\)
  4. \(\left(\dfrac{2x}{3} - 1\right) \cdot \left(\dfrac{2x}{3} + 1\right)\)
  5. \((0,3x + 0,4y)^{2}\)
  6. \((0,2x - 0,6y) \cdot (0,2x + 0,6y)\)

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Exercice 63

Difficulté : 30/100

Question : Développe et simplifie les expressions suivantes :

  1. \((b + 3)^{2} =\)
  2. \((3x + 2)^{2} =\)
  3. \((4y - 6)^{2} =\)
  4. \((5x - 9y)^{2} =\)
  5. \((3x - 2y)(3x + 2y) =\)
  6. \((6a + 4b)^{2} =\)
  7. \((7a + 8b)(7a - 8b) =\)
  8. \((4x + 6)^{2} =\)
  9. \((11x + 5y)(11x - 5y) =\)
  10. \((13a - 11b)^{2} =\)

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Exercice 64

Difficulté : 55/100

Effectuez et réduisez.

  1. \(\left( 3 z^{2} - 4 \right)^{2} =\)
  2. \(\left( 2 z^{2} + 7 \right)^{2} =\)
  3. \(\left( 5 z^{2} \cdot 3 \right)^{2} =\)
  4. \(\left( 2 z^{2} + 7 \right)\left( 2 z^{2} - 7 \right) =\)
  5. \(\left( 2 z^{2} + 7 \right)\left( 7 - 2 z^{2} \right) =\)
  6. \(\left( 2 z^{2} + 7 \right)\left( 6 z^{2} - 2 \right) =\)
  7. \(\left( 9 x^{2} - 4 z \right)^{2} =\)
  8. \(( 7 x - 4 z )( 4 z - 7 x ) =\)
  9. \(( 8 x - 9 z )( 8 x + 9 z ) =\)
  10. \(( 4 b \cdot 2 c )^{2} =\)
  11. \(\left( 2 b^{2} - 3 \right)\left( 3 + 2 b^{2} \right) =\)
  12. \(( 5 d + 6 e )^{2} =\)

Effectuez et réduisez.

  1. \(3 b(b + c) =\)
  2. \(12 k - 2 k =\)
  3. \(( 3 p - q )^{2} =\)
  4. \(( 4 p - 3 )( q + 2 ) =\)
  5. \(( 4 m - 3 n ) - ( 4 m + 3 n ) =\)
  6. \(( y + z + 2 )^{2} =\)
  7. \(\left( 3 y^{2} \cdot 4 z \right)^{2} =\)
  8. \(( 5 v - 3 )( w + 4 ) =\)
  9. \(( 3 n - 4 m )^{2} =\)
  10. \(y^{2}( y - z )( y + z ) =\)
  11. \(( b + c + d )^{2} =\)
  12. \(( 4 p - 6 q )( 6 p + 4 q ) =\)
  13. \(( 16 p + 8 q )( 8 q - 16 p ) =\)
  14. \(0.6( 3 b + c )^{2} =\)
  15. \(( b - 2 + c )^{2} =\)
  16. \(( 5 y - 2 )^{2} - ( 2 y + 9 )^{2} =\)
  17. \(20 y - 4 y \cdot ( 10 - 12 y ) =\)
  18. \(( 5 - 4 y ) \cdot ( 9 y + 7 ) + ( 18 y - 3 ) \cdot ( 2 - y ) =\)

Effectuez et réduisez.

  1. \(\left( \frac{2}{3} x + 4 \right)^{2} =\)
  2. \(\left( \frac{4}{3} x \cdot \frac{2}{5} y \right)^{2} =\)
  3. \(\left( \frac{5}{9} x + \frac{2}{7} y \right)^{2} =\)
  4. \(\left( \frac{3}{10} x + \frac{2}{10} y \right)\left( \frac{3}{10} x - \frac{2}{10} y \right) =\)
  5. \(\left( \frac{5}{8} x - \frac{2}{5} y \right) - \left( \frac{5}{8} x + \frac{2}{5} y \right) =\)
  6. \(\left( \frac{3}{4} x + 6 y \right)\left( \frac{3}{4} x + 6 y \right) =\)
  7. \(\left( \frac{3}{4} x + 4 y \right)^{2} =\)
  8. \(\left( \frac{2}{5} x - 4 \right) - \left( 4 x + \frac{2}{5} \right) =\)
  9. \(\left( 2.\overline{5} x^{2} - 0.\overline{5} y \right)^{2} =\)
  10. \(\left( \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \right)\left( \frac{2}{5} + \frac{2}{5} x \right) =\)

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Exercice 65

Difficulté : 45/100

Effectuer les produits suivants:

  1. \((2 x+y) \cdot(2 x-y) \cdot\left(4 x^{2}+y^{2}\right)\)
  2. \(\left(\frac{1}{2} a+b\right) \cdot\left(\frac{1}{2} a-b\right) \cdot\left(\frac{1}{4} a^{2}-b^{2}\right)\)
  3. \((0,1 w+t) \cdot(0,1 w-t) \cdot\left(0,01 w^{2}+t^{2}\right)\)
  4. \((a+1) \cdot(a-1) \cdot\left(a^{2}+1\right) \cdot\left(a^{4}-1\right)\)
  5. \((x+6) \cdot(x-6) \cdot\left(x^{2}-10\right)\)
  6. \((2 x-3) \cdot\left(4 x^{2}+10\right) \cdot(2 x+3)\)

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