Exercice 23

Question : Le carré \(IJKL\) est l’image du carré \(WXYZ\) par une homothétie de rapport 4. On suppose que le côté du carré \(WXYZ\) mesure 2 cm.

  1. Calcule la longueur d’un côté de \(IJKL\) et en déduis son aire.

Réponse

Réponse :

Le côté du carré \(IJKL\) mesure 8 cm et son aire est de 64 cm².

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question :
Le carré \(IJKL\) est l’image du carré \(WXYZ\) par une homothétie de rapport 4. On suppose que le côté du carré \(WXYZ\) mesure 2 cm.

Partie a. Calcule la longueur d’un côté de \(IJKL\) et en déduis son aire.


Étape 1 : Comprendre l’homothétie

Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou rétrécit une figure à partir d’un centre donné, en multipliant toutes les longueurs par un même rapport appelé rapport d’homothétie.

Dans notre cas : - Le rapport d’homothétie est \(k = 4\). - Le carré \(IJKL\) est l’image du carré \(WXYZ\) par cette homothétie.

Cela signifie que chaque longueur du carré \(IJKL\) est 4 fois plus grande que la correspondante dans \(WXYZ\).

Étape 2 : Calcul de la longueur d’un côté de \(IJKL\)

Le côté du carré \(WXYZ\) mesure \(2\) cm.

Grâce au rapport d’homothétie \(k = 4\), la longueur d’un côté de \(IJKL\) se calcule ainsi :

\[ \text{Longueur d'un côté de } IJKL = k \times \text{Longueur d'un côté de } WXYZ = 4 \times 2\, \text{cm} = 8\, \text{cm} \]

Étape 3 : Calcul de l’aire de \(IJKL\)

L’aire d’un carré se calcule en élevant la longueur d’un côté au carré. Ainsi, pour le carré \(WXYZ\) :

\[ \text{Aire de } WXYZ = (\text{Longueur d'un côté})^2 = 2^2 = 4\, \text{cm}^2 \]

Lors d’une homothétie, l’aire se multiplie par le carré du rapport d’homothétie. Donc, pour \(IJKL\) :

\[ \text{Aire de } IJKL = k^2 \times \text{Aire de } WXYZ = 4^2 \times 4\, \text{cm}^2 = 16 \times 4 = 64\, \text{cm}^2 \]

Conclusion

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