Exercice 22

Deux triangles ont les longueurs suivantes.

Triangle ABC	\(\mathrm{AB}=6,0\)	\(\mathrm{AC}=9,0\)	\(\mathrm{BC}=12,0\)
Triangle DEF	\(\mathrm{DE}=3,0\)	\(\mathrm{DF}=4,5\)	\(\mathrm{EF}=6,0\)

1. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.

2. Le triangle ABC est-il un agrandissement ou une réduction du triangle DEF ? Précise le rapport.

Réponse

Réponse :

1. Oui, le tableau est proportionnel car tous les rapports des côtés correspondants sont égaux à 2.

2. Le triangle ABC est un agrandissement du triangle DEF avec un rapport d’agrandissement de 2.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous allons répondre aux deux questions posées en analysant les longueurs des côtés des triangles ABC et DEF.

a. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.

Définition : Un tableau de proportionnalité est établi lorsque les rapports des longueurs correspondantes des deux figures géométriques sont égaux.

Étapes de résolution :

1. Comparer les longueurs correspondantes des deux triangles :

   • \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{DE}\)
   • \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{DF}\)
   • \(\mathrm{BC}\) et \(\mathrm{EF}\)

2. Calculer les rapports :

   \[ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}} = \frac{6,0}{3,0} = 2 \]

   \[ \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}} = \frac{9,0}{4,5} = 2 \]

   \[ \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}} = \frac{12,0}{6,0} = 2 \]

3. Analyser les résultats :

   Tous les rapports sont égaux à 2.

Conclusion : Oui, c’est un tableau de proportionnalité car les rapports des longueurs correspondantes des deux triangles sont constants et égaux à 2.

b. Le triangle ABC est-il un agrandissement ou une réduction du triangle DEF ? Précise le rapport.

Définition :

• Agrandissement : Si le rapport des longueurs est supérieur à 1.
• Réduction : Si le rapport des longueurs est inférieur à 1.

Étapes de résolution :

1. Identifier le rapport de proportionnalité :

   Comme nous l’avons calculé précédemment, le rapport est de 2.

2. Interpréter le rapport :

   \[ \text{Rapport} = 2 > 1 \]

   Cela signifie que les longueurs du triangle ABC sont deux fois plus grandes que celles du triangle DEF.

Conclusion : Le triangle ABC est un agrandissement du triangle DEF avec un rapport d’agrandissement de 2.

Résumé

• a. Oui, le tableau est proportionnel car tous les rapports des côtés correspondants sont égaux à 2.
• b. Le triangle ABC est un agrandissement du triangle DEF avec un rapport d’agrandissement de 2.