Exercice 21

Question : La figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est l’image de la figure \(MNOP\) par homothétie de ce centre et de rapport 2. Quelles sont les dimensions de \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) ?

Réponse

Les dimensions de la figure \(M′N′O′P′\) sont deux fois celles de \(MNOP\). Donc, si \(MNOP\) a une longueur \(l\) et une largeur \(L\), alors \(M′N′O′P′\) aura une longueur de \(2l\) et une largeur de \(2L\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée de l’exercice sur l’homothétie

Énoncé de l’exercice : La figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est l’image de la figure \(MNOP\) par homothétie de ce centre et de rapport 2. Quelles sont les dimensions de \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) ?

Correction :

Pour déterminer les dimensions de la figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\), nous allons suivre plusieurs étapes en comprenant les concepts d’homothétie et son application.

1. Comprendre l’homothétie

Définition : L’homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure tout en conservant sa forme. Cette transformation est définie par deux éléments : - Le centre d’homothétie (C) : Point fixe autour duquel la transformation s’effectue. - Le rapport d’homothétie (k) : Facteur multiplicateur qui détermine le degré d’agrandissement ou de réduction.

Types d’homothétie : - Si \(k > 1\) : Agrandissement de la figure. - Si \(0 < k < 1\) : Réduction de la figure.

Dans notre exercice, le rapport d’homothétie est \(k = 2\), ce qui signifie que la figure sera agrandie deux fois sa taille initiale.

2. Identifier les dimensions de la figure originale \(MNOP\)

Supposons que la figure \(MNOP\) soit un rectangle avec les dimensions suivantes : - Longueur : \(l\) - Largeur : \(L\)

Ces dimensions peuvent varier en fonction de l’énoncé complet, mais pour cette correction, nous utiliserons ces variables génériques.

3. Appliquer le rapport d’homothétie aux dimensions de \(MNOP\)

Puisque le rapport d’homothétie est \(k = 2\), chaque dimension de la figure originale sera multipliée par ce rapport pour obtenir les dimensions de la figure image \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\).

Calcul des nouvelles dimensions : - Longueur de \(M^{\prime}N^{\prime}\) : \[ \text{Longueur}_{M^{\prime}N^{\prime}} = k \times l = 2 \times l = 2l \]

4. Résultat final

Ainsi, les dimensions de la figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) sont : - Longueur : \(2l\) - Largeur : \(2L\)

Conclusion : La figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est obtenue par agrandissement de la figure \(MNOP\) avec un rapport de 2. Par conséquent, chaque dimension de \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est le double de celles de \(MNOP\).

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