Question : La figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est l’image de la figure \(MNOP\) par homothétie de ce centre et de rapport 2. Quelles sont les dimensions de \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) ?
Les dimensions de la figure \(M′N′O′P′\) sont deux fois celles de \(MNOP\). Donc, si \(MNOP\) a une longueur \(l\) et une largeur \(L\), alors \(M′N′O′P′\) aura une longueur de \(2l\) et une largeur de \(2L\).
Énoncé de l’exercice : La figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est l’image de la figure \(MNOP\) par homothétie de ce centre et de rapport 2. Quelles sont les dimensions de \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) ?
Correction :
Pour déterminer les dimensions de la figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\), nous allons suivre plusieurs étapes en comprenant les concepts d’homothétie et son application.
Définition : L’homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure tout en conservant sa forme. Cette transformation est définie par deux éléments : - Le centre d’homothétie (C) : Point fixe autour duquel la transformation s’effectue. - Le rapport d’homothétie (k) : Facteur multiplicateur qui détermine le degré d’agrandissement ou de réduction.
Types d’homothétie : - Si \(k > 1\) : Agrandissement de la figure. - Si \(0 < k < 1\) : Réduction de la figure.
Dans notre exercice, le rapport d’homothétie est \(k = 2\), ce qui signifie que la figure sera agrandie deux fois sa taille initiale.
Supposons que la figure \(MNOP\) soit un rectangle avec les dimensions suivantes : - Longueur : \(l\) - Largeur : \(L\)
Ces dimensions peuvent varier en fonction de l’énoncé complet, mais pour cette correction, nous utiliserons ces variables génériques.
Puisque le rapport d’homothétie est \(k = 2\), chaque dimension de la figure originale sera multipliée par ce rapport pour obtenir les dimensions de la figure image \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\).
Calcul des nouvelles dimensions : - Longueur de \(M^{\prime}N^{\prime}\) : \[ \text{Longueur}_{M^{\prime}N^{\prime}} = k \times l = 2 \times l = 2l \]
Ainsi, les dimensions de la figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) sont : - Longueur : \(2l\) - Largeur : \(2L\)
Conclusion : La figure \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est obtenue par agrandissement de la figure \(MNOP\) avec un rapport de 2. Par conséquent, chaque dimension de \(M^{\prime}N^{\prime}O^{\prime}P^{\prime}\) est le double de celles de \(MNOP\).