Exercice 17

Question : L’aire d’un hexagone est de \(30\,\text{cm}^2\). Déterminez l’aire de son image par une homothétie de rapport :

1. \(1,5\) ;

2. \(-3\) ;

3. \(\dfrac{2}{5}\).

Réponse

Réponses :

1. \(67,5\,\text{cm}²\)

2. \(270\,\text{cm}²\)

3. \(4,8\,\text{cm}²\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé :
L’aire d’un hexagone est de \(30\,\text{cm}^2\). Déterminez l’aire de son image par une homothétie de rapport :

1. \(1,5\) ;
   
2. \(-3\) ;
   
3. \(\dfrac{2}{5}\).

Homothétie et Aire

Avant de résoudre chaque partie, rappelons qu’une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure selon un rapport \(r\).

Lorsque l’on applique une homothétie de rapport \(r\) à une figure, les longueurs sont multipliées par \(r\) et l’aire est multipliée par \(r^2\).

Partie a) Une homothétie de rapport \(1,5\)

Étape 1 : Identifier le rapport \(r\).
Le rapport est \(r = 1,5\).

Étape 2 : Calculer le carré du rapport.
\[ r^2 = (1,5)^2 = 2,25 \]

Étape 3 : Calculer la nouvelle aire.
\[ \text{Aire initiale} = 30\,\text{cm}^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = \text{Aire initiale} \times r^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = 30\,\text{cm}^2 \times 2,25 = 67,5\,\text{cm}^2 \]

Réponse : L’aire de l’image est de \(67,5\,\text{cm}^2\).

Partie b) Une homothétie de rapport \(-3\)

Étape 1 : Identifier le rapport \(r\).
Le rapport est \(r = -3\).
Note : Le signe négatif indique que l’homothétie inclut une réflexion.

Étape 2 : Calculer le carré du rapport.
\[ r^2 = (-3)^2 = 9 \]

Étape 3 : Calculer la nouvelle aire.
\[ \text{Aire initiale} = 30\,\text{cm}^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = 30\,\text{cm}^2 \times 9 = 270\,\text{cm}^2 \]

Réponse : L’aire de l’image est de \(270\,\text{cm}^2\).

Partie c) Une homothétie de rapport \(\dfrac{2}{5}\)

Étape 1 : Identifier le rapport \(r\).
Le rapport est \(r = \dfrac{2}{5}\).

Étape 2 : Calculer le carré du rapport.
\[ r^2 = \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 = \dfrac{4}{25} \]

Étape 3 : Calculer la nouvelle aire.
\[ \text{Aire initiale} = 30\,\text{cm}^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = 30\,\text{cm}^2 \times \dfrac{4}{25} \]
\[ \text{Nouvelle aire} = \dfrac{120}{25}\,\text{cm}^2 = 4,8\,\text{cm}^2 \]

Réponse : L’aire de l’image est de \(4,8\,\text{cm}^2\).

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Ainsi, en appliquant la règle selon laquelle l’aire est multipliée par le carré du rapport de l’homothétie, nous obtenons les aires des images correspondantes pour chaque rapport donné.