Question : L’aire d’un hexagone est de \(30\,\text{cm}^2\). Déterminez l’aire de son image par une homothétie de rapport :
\(1,5\) ;
\(-3\) ;
\(\dfrac{2}{5}\).
Réponses :
\(67,5\,\text{cm}²\)
\(270\,\text{cm}²\)
\(4,8\,\text{cm}²\)
Énoncé :
L’aire d’un hexagone est de \(30\,\text{cm}^2\). Déterminez l’aire de son image par une homothétie de rapport :
Avant de résoudre chaque partie, rappelons qu’une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure selon un rapport \(r\).
Lorsque l’on applique une homothétie de rapport \(r\) à une figure, les longueurs sont multipliées par \(r\) et l’aire est multipliée par \(r^2\).
Étape 1 : Identifier le rapport \(r\).
Le rapport est \(r = 1,5\).
Étape 2 : Calculer le carré du rapport.
\[ r^2 = (1,5)^2 = 2,25 \]
Étape 3 : Calculer la nouvelle aire.
\[ \text{Aire initiale} = 30\,\text{cm}^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = \text{Aire initiale} \times r^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = 30\,\text{cm}^2 \times 2,25 = 67,5\,\text{cm}^2 \]
Réponse : L’aire de l’image est de \(67,5\,\text{cm}^2\).
Étape 1 : Identifier le rapport \(r\).
Le rapport est \(r = -3\).
Note : Le signe négatif indique que l’homothétie inclut une réflexion.
Étape 2 : Calculer le carré du rapport.
\[ r^2 = (-3)^2 = 9 \]
Étape 3 : Calculer la nouvelle aire.
\[ \text{Aire initiale} = 30\,\text{cm}^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = 30\,\text{cm}^2 \times 9 = 270\,\text{cm}^2 \]
Réponse : L’aire de l’image est de \(270\,\text{cm}^2\).
Étape 1 : Identifier le rapport \(r\).
Le rapport est \(r = \dfrac{2}{5}\).
Étape 2 : Calculer le carré du rapport.
\[ r^2 = \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 = \dfrac{4}{25} \]
Étape 3 : Calculer la nouvelle aire.
\[ \text{Aire initiale} = 30\,\text{cm}^2 \]
\[ \text{Nouvelle aire} = 30\,\text{cm}^2 \times \dfrac{4}{25} \]
\[ \text{Nouvelle aire} = \dfrac{120}{25}\,\text{cm}^2 = 4,8\,\text{cm}^2 \]
Réponse : L’aire de l’image est de \(4,8\,\text{cm}^2\).
Ainsi, en appliquant la règle selon laquelle l’aire est multipliée par le carré du rapport de l’homothétie, nous obtenons les aires des images correspondantes pour chaque rapport donné.