Question :
| Aire de la figure | Rapport d’homothétie | Aire de l’image |
|---|---|---|
| \(4 \, \mathrm{cm}^{2}\) | 2 | |
| \(18 \, \mathrm{m}^{2}\) | 0,5 | |
| 3 | \(243 \, \mathrm{mm}^{2}\) | |
| 0,4 | \(1{,}44 \, \mathrm{cm}^{2}\) | |
| \(3{,}0 \, \mathrm{cm}^{2}\) | \(12 \, \mathrm{cm}^{2}\) | |
| \(3 \, \mathrm{dm}^{2}\) | \(3{,}24 \, \mathrm{dm}^{2}\) | |
| \(12 \, \mathrm{dm}^{2}\) | \(12 \, \mathrm{m}^{2}\) |
\[ \frac{\text{Aire IJKL}}{\text{Aire WXYZ}} = (\ )^{2} \]
Résumé : • Ligne 1 : 4 cm² et k = 2 donnent Aire image = 4 × 2² = 16 cm².
• Ligne 2 : 18 m² et k = 0,5 donnent Aire image = 18 × 0,5² = 4,5 m².
• Ligne 3 : k = 3 et Aire image = 243 mm² donnent Aire figure = 243 ÷ 3² = 27 mm².
• Ligne 4 : k = 0,4 et Aire image = 1,44 cm² donnent Aire figure = 1,44 ÷ 0,4² = 9 cm².
• Ligne 5 : 3,0 cm² et Aire image = 12 cm² donnent k² = 12 ÷ 3 = 4, donc k = 2.
• Ligne 6 : 3,0 dm² et Aire image = 3,24 dm² donnent k² = 3,24 ÷ 3 = 1,08, soit k ≈ 1,04.
• Ligne 7 : 12 dm² (0,12 m²) et Aire image = 12 m² donnent k² = 12 ÷ 0,12 = 100, donc k = 10.
L’équation est : (Aire IJKL) ÷ (Aire WXYZ) = (rapport d’homothétie)².
Nous allons résoudre cet exercice en utilisant la propriété suivante : lorsqu’une figure subit une homothétie de rapport k, son aire est multipliée par k². Autrement dit, si Aire₀ est l’aire de la figure initiale et Aire₁ celle de l’image, alors :
Aire₁ = Aire₀ × k² (1)
Nous allons utiliser cette formule pour compléter chaque ligne du tableau, en faisant attention aux unités.
───────────────────────────── A. Compléter le tableau
• Aire de la figure = 4 cm²
• Rapport d’homothétie = 2
On cherche l’aire de l’image.
D’après (1) : Aire image = 4 × (2)² = 4 × 4 = 16 cm²
Le tableau se complète ainsi pour cette ligne.
───────────────────────────── 2. Deuxième ligne
• Aire de la figure = 18 m²
• Rapport d’homothétie = 0,5
On applique la formule : Aire image = 18 × (0,5)² = 18 × 0,25 = 4,5 m²
───────────────────────────── 3. Troisième ligne
• Rapport d’homothétie = 3
• Aire de l’image = 243 mm²
Ici, on cherche l’aire de la figure initiale. On écrit (1) sous la forme : Aire figure = Aire image ÷ (3)² = 243 ÷ 9 = 27 mm²
───────────────────────────── 4. Quatrième ligne
• Rapport d’homothétie = 0,4
• Aire de l’image = 1,44 cm²
On calcule l’aire de la figure initiale : Aire figure = 1,44 ÷ (0,4)² = 1,44 ÷ 0,16 = 9 cm²
───────────────────────────── 5. Cinquième ligne
• Aire de la figure = 3,0 cm²
• Aire de l’image = 12 cm²
Ici, on cherche le rapport d’homothétie k. On sait que : k² = Aire image ÷ Aire figure = 12 ÷ 3 = 4
Donc k = √4 = 2
───────────────────────────── 6. Sixième ligne
• Aire de la figure = 3,0 dm²
• Aire de l’image = 3,24 dm²
On calcule k² : k² = 3,24 ÷ 3 = 1,08
Puis k = √1,08
La valeur approchée de √1,08 est environ 1,04.
(On arrondit à deux chiffres après la virgule.)
───────────────────────────── 7. Septième ligne
• Aire de la figure = 12 dm²
• Aire de l’image = 12 m²
Ici, il faut faire attention aux unités.
Rappel : 1 m² = 100 dm², donc 1 dm² = 0,01 m².
Convertissons l’aire de la figure en m² :
12 dm² = 12 × 0,01 = 0,12 m²
On trouve le rapport d’homothétie : k² = Aire image ÷ Aire figure = 12 ÷ 0,12 = 100
Donc k = √100 = 10
───────────────────────────── B. Compléter l’équation
On doit compléter l’équation suivante :
(Aire IJKL) ÷ (Aire WXYZ) = ( )²
La propriété utilisée est exactement celle que nous avons appliquée : le rapport entre l’aire d’une figure et celle de son image est égal au carré du rapport d’homothétie. On peut donc écrire :
(Aire IJKL) ÷ (Aire WXYZ) = (rapport d’homothétie)²
───────────────────────────── Récapitulatif du tableau complété :
| | Aire de la figure | Rapport d’homothétie | Aire de l’image | |
| |————————— | ——————– | ———————– | |
| | 4 cm² | 2 | 16 cm² | |
| | 18 m² | 0,5 | 4,5 m² | |
| | 27 mm² | 3 | 243 mm² | |
| | 9 cm² | 0,4 | 1,44 cm² | |
| | 3,0 cm² | 2 | 12 cm² | |
| | 3,0 dm² | ≈ 1,04 | 3,24 dm² | |
| | 12 dm² (soit 0,12 m²) | 10 | 12 m² | |
Et l’équation finale :
(Aire IJKL) ÷ (Aire WXYZ) = (rapport d’homothétie)²
Cette démarche montre comment, par application de la relation entre aire et rapport d’homothétie, nous pouvons compléter le tableau et l’équation donnée.