Exercice 15

Question : Trace le rectangle \(EFGH\) et place un point \(P\) à l’extérieur. Construis \(E'F'G'H'\), l’image du quadrilatère \(EFGH\) par homothétie de centre \(P\) et de rapport \(1{,}5\).

Réponse

Pour obtenir l’image du rectangle \(EFGH\) par homothétie de centre \(P\) et de rapport \(1{,}5\), placez \(P\) à l’extérieur du rectangle, appliquez le rapport d’homothétie à chaque sommet pour déterminer \(E'\), \(F'\), \(G'\) et \(H'\), puis reliez ces points pour former le quadrilatère \(E'F'G'H'\).

Corrigé détaillé

Pour résoudre cet exercice, nous allons construire l’image du rectangle \(EFGH\) par une homothétie de centre \(P\) et de rapport \(1{,}5\). Voici les étapes détaillées :

Étape 1 : Tracer le rectangle \(EFGH\)

1. Dessiner le rectangle : Sur une feuille de papier, tracez un rectangle en respectant les longueurs des côtés si elles sont données. Les sommets de ce rectangle sont nommés \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\).

   

Étape 2 : Placer le point \(P\) à l’extérieur du rectangle

1. Identifier un emplacement pour \(P\) : Choisissez un point \(P\) situé à l’extérieur du rectangle \(EFGH\). Assurez-vous que \(P\) n’est aligné avec aucun côté du rectangle pour simplifier la construction.

   

Étape 3 : Construire l’image \(E'F'G'H'\) par homothétie de centre \(P\) et de rapport \(1{,}5\)

L’homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure selon un rapport donné, en gardant un point fixe appelé centre d’homothétie.

1. Comprendre le rapport d’homothétie : Ici, le rapport est \(1{,}5\), ce qui signifie que l’image sera 1,5 fois plus grande que le rectangle initial par rapport au centre \(P\).

2. Construire les images des sommets :

   Pour chaque sommet du rectangle \(EFGH\), suivez les étapes suivantes :

   • Tracer une droite passant par \(P\) et le sommet concerné. Par exemple, pour le sommet \(E\), tracez la droite \(PE\).

   • Mesurer la distance entre \(P\) et \(E\). Appelons cette distance \(d\).

   • Calculer la nouvelle distance : Multipliez \(d\) par le rapport \(1{,}5\) pour obtenir la distance \(d'\) entre \(P\) et \(E'\).

     \[ d' = d \times 1{,}5 \]

   • Placer le point \(E'\) sur la droite \(PE\) à la distance \(d'\) de \(P\).

   Répétez ces étapes pour les sommets \(F\), \(G\) et \(H\) afin de déterminer les points \(F'\), \(G'\) et \(H'\).

   

3. Relier les points \(E'F'G'H'\) : Une fois les points \(E'\), \(F'\), \(G'\) et \(H'\) placés, reliez-les dans l’ordre pour former le quadrilatère \(E'F'G'H'\). Ce quadrilatère est l’image du rectangle initial par l’homothétie de centre \(P\) et de rapport \(1{,}5\).

Résumé

• Rectangle initial : \(EFGH\)
• Centre d’homothétie : \(P\) (extérieur au rectangle)
• Rapport d’homothétie : \(1{,}5\)
• Image du rectangle : \(E'F'G'H'\)

En suivant ces étapes, vous avez construit avec succès l’image du rectangle \(EFGH\) par homothétie de centre \(P\) et de rapport \(1{,}5\).