Question : Un triangle \(D'E'F'\) est l’image du triangle \(DEF\) par une homothétie de rapport \(\frac{3}{2}\). On sait que \(DE = 8\,\mathrm{cm}\) et que l’angle \(\widehat{DEF}\) mesure \(45^\circ\). Déterminez les mesures de \(D'E'\) et du périmètre de \(D'E'F'\). Justifiez votre réponse.
Résumé de l’exercice :
Correction détaillée :
Nous devons déterminer les mesures de \(D'E'\) et du périmètre de \(D'E'F'\) sachant que le triangle \(D'E'F'\) est l’image du triangle \(DEF\) par une homothétie de rapport \(\frac{3}{2}\). De plus, nous savons que \(DE = 8\,\mathrm{cm}\) et que l’angle \(\widehat{DEF}\) mesure \(45^\circ\).
Définition : Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou rapetisse toutes les longueurs d’un objet selon un même rapport, appelé rapport d’homothétie.
Dans notre cas, l’homothétie a un rapport de \(\frac{3}{2}\). Cela signifie que toutes les longueurs du triangle \(DEF\) seront multipliées par \(\frac{3}{2}\) pour obtenir celles du triangle \(D'E'F'\).
Nous connaissons la longueur \(DE = 8\,\mathrm{cm}\). Pour trouver \(D'E'\), nous appliquons le rapport de l’homothétie :
\[ D'E' = \frac{3}{2} \times DE = \frac{3}{2} \times 8\,\mathrm{cm} = 12\,\mathrm{cm} \]
Conclusion : La mesure de \(D'E'\) est de 12 cm.
Le périmètre d’un triangle est la somme de ses trois côtés. Étant donné que le triangle \(D'E'F'\) est l’image du triangle \(DEF\) par une homothétie de rapport \(\frac{3}{2}\), le périmètre du triangle \(D'E'F'\) sera également multiplié par ce rapport.
Soit \(P\) le périmètre de \(DEF\) et \(P'\) celui de \(D'E'F'\). Alors :
\[ P' = \frac{3}{2} \times P \]
Cependant, pour déterminer \(P'\), nous avons besoin de connaître le périmètre initial \(P\) du triangle \(DEF\).
Puisque nous connaissons \(DE = 8\,\mathrm{cm}\) et l’angle \(\widehat{DEF} = 45^\circ\), si nous supposons que le triangle \(DEF\) est isocèle en \(E\), les deux autres côtés \(DF\) et \(EF\) sont égaux. Toutefois, sans information supplémentaire sur les longueurs des autres côtés, nous ne pouvons pas déterminer précisément le périmètre de \(DEF\).
Supposition : Si nous supposons que \(DEF\) est un triangle isocèle en \(E\) avec \(DF = EF = 8\,\mathrm{cm}\), alors :
\[ P = DE + DF + EF = 8\,\mathrm{cm} + 8\,\mathrm{cm} + 8\,\mathrm{cm} = 24\,\mathrm{cm} \]
Alors, le périmètre de \(D'E'F'\) serait :
\[ P' = \frac{3}{2} \times 24\,\mathrm{cm} = 36\,\mathrm{cm} \]
Conclusion : Le périmètre de \(D'E'F'\) est de 36 cm.
Remarque : Si le triangle \(DEF\) n’est pas isocèle ou si les longueurs des autres côtés sont différentes, le périmètre de \(DEF\) changera, et par conséquent, celui de \(D'E'F'\) sera ajusté en conséquence en appliquant toujours le rapport \(\frac{3}{2}\).