Exercice 10

L’homothétie de centre \(M\) et de rapport \(\frac{3}{2}\) transforme un segment \([CD]\) en un segment \([C'D']\).

1. Construis cette figure.

2. Que peut-on dire des droites \((CD)\) et \((C'D')\) ? Justifie.

Réponse

Réponse courte :

1. La figure est construite en appliquant une homothétie de centre \(M\) et de rapport \(\frac{3}{2}\) au segment \([CD]\), obtenant ainsi le segment \([C'D']\).

2. Les droites \((CD)\) et \((C'D')\) sont parallèles.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé : > L’homothétie de centre \(M\) et de rapport \(\frac{3}{2}\) transforme un segment \([CD]\) en un segment \([C'D']\). > > a. Construis cette figure. > > b. Que peut-on dire des droites \((CD)\) et \((C'D')\) ? Justifie.

---

Partie a. Construction de la figure

Pour construire la figure représentant l’homothétie de centre \(M\) et de rapport \(\frac{3}{2}\) transformant le segment \([CD]\) en \([C'D']\), suivons les étapes suivantes :

1. Tracer le centre \(M\) :
   • Placez un point \(M\) sur votre feuille. C’est le centre de l’homothétie.
2. Tracer le segment \([CD]\) :
   • À partir de \(M\), tracez un segment \([CD]\) de longueur arbitraire.
3. Appliquer le rapport de l’homothétie :
   • Le rapport \(k = \frac{3}{2}\) indique que chaque point du segment \([CD]\) sera éloigné du centre \(M\) d’un facteur \(\frac{3}{2}\).
4. Localiser le point \(C'\) :
   • Tracez une droite passant par \(M\) et \(C\).
   • Mesurez la distance \(MC\), puis multipliez cette distance par \(\frac{3}{2}\) pour obtenir la distance \(MC'\).
   • Placez le point \(C'\) sur cette droite à une distance \(MC' = \frac{3}{2} \times MC\) de \(M\).
5. Localiser le point \(D'\) :
   • Répétez le même procédé pour le point \(D\):
     • Tracez une droite passant par \(M\) et \(D\).
     • Mesurez \(MD\) et calculez \(MD' = \frac{3}{2} \times MD\).
     • Placez le point \(D'\) sur cette droite à la distance \(MD'\) de \(M\).
6. **Tracer le segment \([C'D'] :** - Reliez les points \( C'\) et \(D'\) pour obtenir le segment \([C'D']\).

Schéma de la construction :

[

]

Partie b. Analyse des droites \((CD)\) et \((C'D')\)

Affirmation : Les droites \((CD)\) et \((C'D')\) sont parallèles.

Justification :

Une homothétie avec un rapport positif transforme les figures en agrandissant ou en réduisant sans changer la direction des droites.

• Propriétés de l’homothétie :
  • Conservation de la direction : Les droites initiales et leurs images par homothétie sont parallèles.
  • Rapport positif : Indique que la transformation conserve la direction (absence de symétrie).

Dans notre cas, l’homothétie de centre \(M\) et de rapport \(\frac{3}{2}\) transforme le segment \([CD]\) en \([C'D']\) en étendant ou en réduisant les distances proportionnellement tout en maintenant la direction.

Ainsi, les droites \((CD)\) et \((C'D')\) sont parallèles car elles sont alignées selon la même direction définie par le centre \(M\) et le rapport positif de l’homothétie.

Conclusion : Les droites \((CD)\) et \((C'D')\) sont parallèles.