Exercice 6

Question : Les côtés du triangle \(XYZ\) mesurent respectivement \(7\) cm, \(10\) cm et \(14\) cm.
Sophie décide de tracer à la craie un agrandissement de ce triangle.
Elle choisit alors des longueurs de côtés de \(21\) cm, \(30\) cm et \(42\) cm.
Son agrandissement est-il correct ?

Réponse

L’agrandissement est correct car chaque côté du triangle initial a été multiplié par 3.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous allons vérifier si l’agrandissement réalisé par Sophie est correct en comparant les longueurs des côtés du triangle initial avec celles du triangle agrandi.

Étape 1 : Identifier les longueurs des côtés des deux triangles

• Triangle initial \(XYZ\) :
  • Côté \(XY = 7\) cm
  • Côté \(YZ = 10\) cm
  • Côté \(ZX = 14\) cm
• Triangle agrandi :
  • Côté correspondant \(XY' = 21\) cm
  • Côté correspondant \(YZ' = 30\) cm
  • Côté correspondant \(ZX' = 42\) cm

Étape 2 : Calculer le facteur d’agrandissement pour chaque côté

Pour vérifier l’agrandissement, nous devons déterminer si chaque côté du triangle agrandi est proportionnel au côté correspondant du triangle initial. Cela se fait en calculant le rapport entre les longueurs des côtés agrandis et des côtés initiaux.

\[ \text{Facteur d'agrandissement} = \frac{\text{Longueur du côté agrandi}}{\text{Longueur du côté initial}} \]

Calculons ce facteur pour chaque côté :

1. Pour le côté \(XY\) : \[ \frac{XY'}{XY} = \frac{21\, \text{cm}}{7\, \text{cm}} = 3 \]

2. Pour le côté \(YZ\) : \[ \frac{YZ'}{YZ} = \frac{30\, \text{cm}}{10\, \text{cm}} = 3 \]

3. Pour le côté \(ZX\) : \[ \frac{ZX'}{ZX} = \frac{42\, \text{cm}}{14\, \text{cm}} = 3 \]

Étape 3 : Vérifier la constance du facteur d’agrandissement

Nous constatons que le facteur d’agrandissement est le même pour tous les côtés du triangle :

\[ 3 \quad \text{pour } XY, \quad 3 \quad \text{pour } YZ, \quad 3 \quad \text{pour } ZX \]

Conclusion

Puisque le facteur d’agrandissement est constant et égal à 3 pour tous les côtés du triangle, l’agrandissement réalisé par Sophie est correct. Le triangle agrandi est proportionnel au triangle initial, respectant ainsi les propriétés d’un agrandissement géométrique.