Question :
Construis l’image de la figure représentée sur la figure par la transformation \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{2}{3}\right)\).
Construis ensuite l’image de la figure obtenue en a) par la transformation \(S(d)\).
Comment peut-on revenir à la figure initiale à partir de la figure obtenue en b) ?
L’exercice démontre comment transformer une figure géométrique en appliquant d’abord une homothétie de centre \(C\) et de rapport \(\frac{2}{3}\), puis une symétrie axiale par rapport à une droite \(d\). Pour revenir à la figure initiale, on inverse ces transformations en effectuant d’abord la symétrie axiale, puis une homothétie de rapport \(\frac{3}{2}\). Cela illustre l’utilisation combinée et l’inversion des transformations géométriques.
Correction de l’exercice :
Nous allons traiter chaque partie de la question étape par étape.
Définition :
Une homothétie \(\mathfrak{H}(C; k)\) est une transformation géométrique qui agrandit ou rétrécit une figure autour d’un centre \(C\) selon un rapport \(k\).
Étapes de la construction :
Identifier le centre d’homothétie \(C\) :
Localisez le point \(C\) sur la figure donnée. C’est le point autour duquel la figure sera agrandie ou rétrécie.
Choisir le rapport d’homothétie \(k = \frac{2}{3}\) :
Un rapport inférieur à 1 (\(k = \frac{2}{3}\)) signifie que la figure sera réduite.
Construire l’image de chaque point de la figure :
Répéter pour tous les points de la figure :
Appliquez la même méthode pour chaque point de la figure initiale pour obtenir tous les points de l’image.
Tracer la figure image :
Reliez les points obtenus pour dessiner la figure transformée par l’homothétie.
Illustration :
Supposons que la figure initiale soit un triangle avec sommets \(A\), \(B\), et \(D\). Après application de l’homothétie \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{2}{3}\right)\), les nouveaux sommets seront \(A'\), \(B'\), et \(D'\), chacun situé à \(\frac{2}{3}\) de la distance depuis \(C\).
Définition :
La transformation \(S(d)\) représente une symétrie axiale par rapport à une droite \(d\).
Étapes de la construction :
Identifier la droite de symétrie \(d\) :
Localisez la droite \(d\) par rapport à laquelle la symétrie sera effectuée.
Appliquer la symétrie à chaque point de la figure obtenue en a) :
Répéter pour tous les points de la figure :
Appliquez la même méthode pour chaque point \(B'\), \(D'\), etc., pour obtenir les points symétriques \(B''\), \(D''\), etc.
Tracer la figure image :
Reliez les points symétriques obtenus pour dessiner la figure transformée par la symétrie axiale.
Illustration :
En appliquant la symétrie axiale \(S(d)\) à la figure réduite obtenue en a), chaque point de cette figure sera reflété de l’autre côté de la droite \(d\), créant ainsi une nouvelle figure miroir.
Pour revenir à la figure initiale à partir de la figure obtenue en b), il faut effectuer les transformations inverses dans l’ordre inverse.
Étapes :
Inverser la transformation \(S(d)\) :
La symétrie axiale est une transformation involutive, c’est-à-dire que la symétrie de la symétrie ramène à la figure initiale. Donc, appliquer à nouveau \(S(d)\) sur la figure obtenue en b) nous ramène à la figure obtenue en a).
Inverser la transformation \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{2}{3}\right)\) :
L’homothétie inverse a un rapport \(k' = \frac{1}{k} = \frac{3}{2}\).
Résumé :
Ainsi, en appliquant successivement les transformations inverses, on retrouve la figure de départ.
Conclusion :
Cet exercice illustre l’utilisation des transformations géométriques telles que l’homothétie et la symétrie axiale pour manipuler et reconstruire des figures. Comprendre ces transformations et leurs inverses permet de passer d’une figure à une autre de manière rigoureuse et méthodique.