Exercice 5

Question :

Construis l’image de la figure représentée sur la figure par la transformation \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{2}{3}\right)\).
Construis ensuite l’image de la figure obtenue en a) par la transformation \(S(d)\).
Comment peut-on revenir à la figure initiale à partir de la figure obtenue en b) ?

Réponse

L’exercice démontre comment transformer une figure géométrique en appliquant d’abord une homothétie de centre \(C\) et de rapport \(\frac{2}{3}\), puis une symétrie axiale par rapport à une droite \(d\). Pour revenir à la figure initiale, on inverse ces transformations en effectuant d’abord la symétrie axiale, puis une homothétie de rapport \(\frac{3}{2}\). Cela illustre l’utilisation combinée et l’inversion des transformations géométriques.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice :

Nous allons traiter chaque partie de la question étape par étape.

a) Construction de l’image par la transformation \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{2}{3}\right)\)

Définition :
Une homothétie \(\mathfrak{H}(C; k)\) est une transformation géométrique qui agrandit ou rétrécit une figure autour d’un centre \(C\) selon un rapport \(k\).

Étapes de la construction :

Identifier le centre d’homothétie \(C\) :
Localisez le point \(C\) sur la figure donnée. C’est le point autour duquel la figure sera agrandie ou rétrécie.
Choisir le rapport d’homothétie \(k = \frac{2}{3}\) :
Un rapport inférieur à 1 (\(k = \frac{2}{3}\)) signifie que la figure sera réduite.
Construire l’image de chaque point de la figure :
- Prenez un point quelconque \(A\) de la figure initiale.
- Tracez une ligne droite passant par \(C\) et \(A\).
- Mesurez la distance \(CA\).
- Multipliez cette distance par le rapport \(k = \frac{2}{3}\) pour obtenir la distance \(CA'\).
- Placez le point \(A'\) sur la droite \(CA\) à une distance \(CA' = \frac{2}{3} \times CA\) de \(C\).
Répéter pour tous les points de la figure :
Appliquez la même méthode pour chaque point de la figure initiale pour obtenir tous les points de l’image.
Tracer la figure image :
Reliez les points obtenus pour dessiner la figure transformée par l’homothétie.

Illustration :

Supposons que la figure initiale soit un triangle avec sommets \(A\), \(B\), et \(D\). Après application de l’homothétie \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{2}{3}\right)\), les nouveaux sommets seront \(A'\), \(B'\), et \(D'\), chacun situé à \(\frac{2}{3}\) de la distance depuis \(C\).

b) Construction de l’image de la figure obtenue en a) par la transformation \(S(d)\)

Définition :
La transformation \(S(d)\) représente une symétrie axiale par rapport à une droite \(d\).

Étapes de la construction :

Identifier la droite de symétrie \(d\) :
Localisez la droite \(d\) par rapport à laquelle la symétrie sera effectuée.
Appliquer la symétrie à chaque point de la figure obtenue en a) :
- Prenez un point quelconque \(A'\) de la figure obtenue en a).
- Tracez une perpendiculaire à la droite \(d\) passant par \(A'\).
- Sur l’autre côté de \(d\), à la même distance que \(A'\) par rapport à \(d\), placez le point symétrique \(A''\).
Répéter pour tous les points de la figure :
Appliquez la même méthode pour chaque point \(B'\), \(D'\), etc., pour obtenir les points symétriques \(B''\), \(D''\), etc.
Tracer la figure image :
Reliez les points symétriques obtenus pour dessiner la figure transformée par la symétrie axiale.

Illustration :

En appliquant la symétrie axiale \(S(d)\) à la figure réduite obtenue en a), chaque point de cette figure sera reflété de l’autre côté de la droite \(d\), créant ainsi une nouvelle figure miroir.

c) Revenir à la figure initiale à partir de la figure obtenue en b)

Pour revenir à la figure initiale à partir de la figure obtenue en b), il faut effectuer les transformations inverses dans l’ordre inverse.

Étapes :

Inverser la transformation \(S(d)\) :
La symétrie axiale est une transformation involutive, c’est-à-dire que la symétrie de la symétrie ramène à la figure initiale. Donc, appliquer à nouveau \(S(d)\) sur la figure obtenue en b) nous ramène à la figure obtenue en a).
Inverser la transformation \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{2}{3}\right)\) :
L’homothétie inverse a un rapport \(k' = \frac{1}{k} = \frac{3}{2}\).
- Appliquer l’homothétie \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{3}{2}\right)\) sur la figure obtenue après la symétrie ramène à la figure initiale.

Résumé :

Étape 1 : Appliquer \(S(d)\) à la figure obtenue en b) pour retrouver la figure après l’homothétie en a).
Étape 2 : Appliquer \(\mathfrak{H}\left(C ; \frac{3}{2}\right)\) pour revenir à la figure initiale.

Ainsi, en appliquant successivement les transformations inverses, on retrouve la figure de départ.

Conclusion :

Cet exercice illustre l’utilisation des transformations géométriques telles que l’homothétie et la symétrie axiale pour manipuler et reconstruire des figures. Comprendre ces transformations et leurs inverses permet de passer d’une figure à une autre de manière rigoureuse et méthodique.