Question :
Mesure les angles de chaque triangle. Que constates-tu ?
Construis deux triangles \(DEF\) et \(D'E'F'\), de tailles différentes, dont les angles mesurent : \[ \widehat{EDF} = \widehat{D'E'F'} = 65^\circ,\quad \widehat{DFE} = \widehat{D'F'E'} = 55^\circ,\quad \widehat{FED} = \widehat{F'E'D'} = 60^\circ \] Mesure les côtés de ces triangles, puis calcule les rapports suivants : \[ \frac{DE}{EF},\quad \frac{DE}{DF},\quad \frac{EF}{DF},\quad \frac{D'E'}{E'F'},\quad \frac{D'E'}{D'F'},\quad \frac{E'F'}{D'F'} \] Que constates-tu ?
Fais de même pour les rapports suivants : \[ \frac{DE}{D'E'},\quad \frac{EF}{E'F'},\quad \frac{DF}{D'F'} \]
En agrandissant un triangle de côtés 6 cm, 7 cm et 10 cm par un facteur 2, on obtient un triangle de côtés 12 cm, 14 cm et 20 cm, avec des angles identiques (les triangles sont donc semblables).
Pour deux triangles avec les mêmes angles (65°, 55° et 60°), la loi des sinus montre que les rapports entre les côtés opposés à ces angles (par exemple DE/EF, etc.) sont identiques dans chaque triangle.
En comparant les côtés correspondants des triangles semblables, on constate que le rapport (coefficient d’agrandissement ou de réduction) est le même pour tous les côtés.
Nous allons résoudre la question en trois parties en prenant soin d’expliquer chaque étape de manière claire.
────────────────────────────── Partie a)
Construction du premier triangle • On souhaite construire un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 7 cm et 10 cm. • Pour cela, on peut commencer par tracer un segment [AB] de 10 cm. • Ensuite, avec un compas, on place la pointe sèche en A et on trace un arc de cercle de rayon 7 cm (la longueur qui sera associée à AC par exemple). • De même, on place la pointe sèche en B et on trace un arc de cercle de rayon 6 cm (pour obtenir BC). • L’intersection de ces deux arcs donne le point C. Ainsi, le triangle ABC aura les côtés AB = 10 cm, AC = 7 cm et BC = 6 cm.
Mesure des angles du triangle initial • À l’aide d’un rapporteur, on mesure les angles aux sommets A, B et C. • Par exemple, à l’aide de calculs avec la loi des cosinus (au besoin) on peut obtenir des mesures approximatives :
∠A ≈ 36°20′ (entre les côtés de 7 cm et 10 cm),
∠B ≈ 43° (entre les côtés de 6 cm et 10 cm),
∠C ≈ 100°40′ (entre les côtés de 6 cm et 7 cm).
(Nous n’avons pas besoin d’obtenir des valeurs exactes car l’objectif est de constater que les angles restent les mêmes après agrandissement.)
Réalisation de l’agrandissement • On réalise ensuite un agrandissement de ce triangle de telle sorte que le côté de 7 cm (par exemple AC) devienne 14 cm. • On remarque que pour passer de 7 cm à 14 cm, le rapport de réduction (ou le coefficient d’agrandissement) est k = 14⁄7 = 2. • Pour agrandir le triangle, on multiplie toutes les longueurs par 2. Ainsi, le nouveau triangle aura des côtés de 12 cm (6×2), 14 cm, et 20 cm (10×2).
Mesure des angles du triangle agrandi et constat • On mesure ensuite les angles du triangle agrandi avec le rapporteur. • On constate que les mesures des angles restent exactement les mêmes que dans le triangle initial. • Conclusion importante : un agrandissement (homothétie) conserve les angles. Ainsi, les deux triangles sont semblables (ils ont les mêmes angles et leurs côtés sont proportionnels).
────────────────────────────── Partie b)
Construction des deux triangles • On construit deux triangles, appelons-les DEF et D’E’F’, dont les angles sont donnés : ∠EDF = ∠D’E’F’ = 65°, ∠DFE = ∠D’F’E’ = 55°, ∠FED = ∠F’E’D’ = 60°. • Même s’ils ont des tailles différentes (on peut choisir des longueurs de côtés différentes), comme les trois angles sont identiques dans chaque triangle, ces deux triangles sont semblables.
Mesure et calcul des rapports dans le premier triangle DEF • Pour bien établir les rapports, il faut associer chaque côté à l’angle qui lui est opposé. Dans le triangle DEF : – Le côté DE est opposé à l’angle ∠DFE de 55°. – Le côté EF est opposé à l’angle ∠EDF de 65°. – Le côté DF est opposé à l’angle ∠FED de 60°. • D’après la loi des sinus, dans un triangle, le côté est proportionnel au sinus de l’angle opposé. On a donc : DE ∕ EF = sin(55°) ∕ sin(65°), DE ∕ DF = sin(55°) ∕ sin(60°), EF ∕ DF = sin(65°) ∕ sin(60°). • En effectuant ces calculs (en arrondissant si nécessaire), on trouve par exemple : sin 55° ≈ 0,819, sin 60° ≈ 0,866, sin 65° ≈ 0,906. – Ainsi, DE/EF ≈ 0,819 ⁄ 0,906 ≈ 0,904, – DE/DF ≈ 0,819 ⁄ 0,866 ≈ 0,946, – EF/DF ≈ 0,906 ⁄ 0,866 ≈ 1,046.
Calcul des mêmes rapports dans le second triangle D’E’F’ • Comme les angles sont exactement les mêmes, la loi des sinus s’applique de la même manière pour le triangle D’E’F’. On calcule : D’E’/E’F’ = sin(55°) ∕ sin(65°) ≈ 0,904, D’E’/D’F’ = sin(55°) ∕ sin(60°) ≈ 0,946, E’F’/D’F’ = sin(65°) ∕ sin(60°) ≈ 1,046. • On constate que ces rapports sont exactement les mêmes que dans le triangle DEF.
Constatation • Même si les triangles sont de tailles différentes, les rapports entre côtés mesurés dans le premier sont égaux aux rapports correspondants dans le second. • Cela illustre la propriété de similitude : dans des triangles semblables, tous les rapports entre côtés correspondants restent constants.
────────────────────────────── Partie c)
Comparaison des côtés correspondants des deux triangles • On compare maintenant directement les côtés correspondants des deux triangles. C’est-à-dire, on considère : DE / D’E’, EF / E’F’, DF / D’F’. • Comme les deux triangles sont semblables, le rapport entre chacun de ces côtés est égal au coefficient de l’agrandissement (ou réduction) qui relie le premier triangle au second.
Constatation • Ainsi, quel que soit le côté considéré, le rapport DE/D’E’ (de même pour EF/E’F’ et DF/D’F’) vaut toujours le même nombre k. • Ce k est le coefficient qui a servi pour passer du premier triangle DEF au second triangle D’E’F’. • On constate alors que ces trois rapports sont identiques entre eux.
────────────────────────────── Conclusion générale
Lorsque l’on agrandit un triangle en multipliant toutes ses longueurs par le même nombre (ici 2), les mesures des angles ne changent pas. Les triangles initial et agrandi sont donc semblables.
Dans deux triangles ayant exactement les mêmes angles, les rapports entre les côtés d’un triangle sont égaux aux rapports correspondants de l’autre triangle. Grâce à la loi des sinus, on montre que : DE/EF, DE/DF, EF/DF dans le premier triangle sont égaux aux rapports respectifs dans le second triangle.
Les rapports entre côtés correspondants (DE/D’E’, EF/E’F’, DF/D’F’) sont tous égaux au coefficient de transformation (agrandissement ou réduction) reliant les deux triangles.
Cette démarche met en évidence la propriété fondamentale des triangles semblables : les angles restent constants et les longueurs des côtés sont proportionnelles, c’est pourquoi on retrouve systématiquement des rapports égaux quelle que soit l’échelle choisie.