La pyramide de la Place de la Concorde est une pyramide régulière à base carrée de 50 m de côté et de 30 m de hauteur.
Fais un schéma.
Calcule le volume \(\mathcal{V}\) de cette pyramide. Donne la valeur exacte en \(\mathrm{m}^{3}\), puis la valeur arrondie à l’unité.
Sur une maquette, on construit une réduction de cette pyramide. Le côté de la base carrée mesure 10 cm. Calcule le coefficient de réduction.
Déduis-en le volume \(\vartheta^{\prime}\) de la pyramide sur la maquette. Donne la valeur exacte en \(\mathrm{cm}^{3}\), puis la valeur arrondie à l’unité.
Nous allons résoudre chaque question étape par étape.
────────────────────────────── a. Schéma
Pour représenter la pyramide de la Place de la Concorde, dessine : 1. Un grand carré qui représente la base de 50 m de côté. 2. Un point situé au-dessus du centre du carré qui représente le sommet de la pyramide à 30 m de hauteur. 3. Trace les segments reliant chacun des sommets du carré au point du sommet. Ainsi, tu obtiens une vue en perspective montrant la base et les faces triangulaires de la pyramide.
────────────────────────────── b. Calcul du volume de la pyramide
La formule du volume d’une pyramide est : Volume = (Aire de la base × hauteur) / 3
Calcul de l’aire de la base : La base est un carré de côté 50 m. Aire = 50 × 50 = 2500 m².
Application de la formule avec la hauteur de 30 m : Volume = (2500 × 30) / 3. Calculons pas à pas : 2500 × 30 = 75000. 75000 ÷ 3 = 25000.
Donc, le volume exact de la pyramide est 25000 m³.
Comme le résultat est un nombre entier, la valeur arrondie à l’unité est également 25000 m³.
────────────────────────────── c. Calcul du coefficient de réduction pour la maquette
Sur la maquette, le côté de la base mesure 10 cm.
Dans la pyramide réelle, le côté de la base mesure 50 m, ce qui correspond à 50 × 100 = 5000 cm.
Le coefficient de réduction (k) est le rapport entre la longueur sur la maquette et la longueur réelle : k = (longueur sur la maquette) / (longueur réelle) k = 10 / 5000 = 1/500.
────────────────────────────── d. Calcul du volume de la pyramide sur la maquette
Le coefficient de réduction pour les longueurs est k = 1/500.
Lorsque l’on réduit un objet en trois dimensions, le coefficient de réduction du volume est le cube du coefficient réduit des longueurs, c’est-à-dire k³ : k³ = (1/500)³ = 1/500³ = 1/125 000 000.
Le volume réel de la pyramide est 25000 m³. Pour travailler en cm³, convertissons ce volume : 1 m³ = 1 000 000 cm³, Volume réel en cm³ = 25000 × 1 000 000 = 25 000 000 000 cm³.
Le volume de la pyramide sur la maquette est donc : Volume maquette = Volume réel × k³ Volume maquette = 25 000 000 000 / 125 000 000.
Calculons : 25 000 000 000 ÷ 125 000 000 = 200.
Le volume exact de la pyramide sur la maquette est ainsi 200 cm³.
Arrondi à l’unité, on obtient 200 cm³.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Un schéma montrant un carré (base de 50 m de côté) avec le sommet placé à 30 m au-dessus de son centre et des segments reliant le sommet aux quatre sommets de la base.
Volume réel de la pyramide : 25000 m³ (exact et arrondi).
Coefficient de réduction : 1/500.
Volume de la pyramide sur la maquette : 200 cm³ (exact et arrondi).
Cette démarche détaillée permet de comprendre chaque étape du calcul et les conversions nécessaires.