Exercice 2

Question : Un triangle \(DEF\) rectangle en \(D\) et d’aire \(24 \, \mathrm{cm}^{2}\) est un agrandissement d’un triangle \(XYZ\), rectangle en \(X\), tel que \(XY = 4 \, \mathrm{cm}\) et \(XZ = 3 \, \mathrm{cm}\). Calcule les longueurs \(DE\) et \(DF\).

Réponse

Les longueurs recherchées sont DE = 8 cm et DF = 6 cm.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les propriétés des triangles semblables et la relation entre les aires et les coefficients d’agrandissement. Voici les étapes détaillées :

Énoncé du problème

Nous avons deux triangles :

  1. Triangle \(XYZ\) :
    • Rectangle en \(X\).
    • \(XY = 4 \, \mathrm{cm}\).
    • \(XZ = 3 \, \mathrm{cm}\).
  2. Triangle \(DEF\) :
    • Rectangle en \(D\).
    • Aire \(24 \, \mathrm{cm}^{2}\).
    • Agrandissement du triangle \(XYZ\).

Nous devons trouver les longueurs \(DE\) et \(DF\).

Étape 1 : Comprendre la relation entre les deux triangles

Puisque le triangle \(DEF\) est un agrandissement du triangle \(XYZ\), les deux triangles sont semblables. Cela signifie que les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles, et le rapport des surfaces est le carré du coefficient d’agrandissement.

Étape 2 : Calculer l’aire du triangle \(XYZ\)

Le triangle \(XYZ\) est rectangle en \(X\). L’aire \(A\) d’un triangle rectangle est donnée par : \[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \] Ici, les côtés \(XY\) et \(XZ\) sont les deux côtés perpendiculaires. \[ A_{XYZ} = \frac{1}{2} \times XY \times XZ = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, \mathrm{cm}^{2} \]

Étape 3 : Déterminer le coefficient d’agrandissement

Nous connaissons les aires des deux triangles :

La relation entre les aires des triangles semblables est : \[ \frac{A_{DEF}}{A_{XYZ}} = k^{2} \]\(k\) est le coefficient d’agrandissement.

En remplaçant : \[ \frac{24}{6} = k^{2} \Rightarrow 4 = k^{2} \Rightarrow k = \sqrt{4} = 2 \] Donc, le coefficient d’agrandissement est \(k = 2\).

Étape 4 : Calculer les longueurs \(DE\) et \(DF\)

Les longueurs des côtés correspondants dans les deux triangles sont proportionnelles au coefficient \(k\) :

\[ DE = k \times XY = 2 \times 4 = 8 \, \mathrm{cm} \] \[ DF = k \times XZ = 2 \times 3 = 6 \, \mathrm{cm} \]

Conclusion

Les longueurs recherchées sont :

\[ DE = 8 \, \mathrm{cm} \quad \text{et} \quad DF = 6 \, \mathrm{cm} \]

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer