Question : Un triangle \(DEF\) rectangle en \(D\) et d’aire \(24 \, \mathrm{cm}^{2}\) est un agrandissement d’un triangle \(XYZ\), rectangle en \(X\), tel que \(XY = 4 \, \mathrm{cm}\) et \(XZ = 3 \, \mathrm{cm}\). Calcule les longueurs \(DE\) et \(DF\).
Les longueurs recherchées sont DE = 8 cm et DF = 6 cm.
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les propriétés des triangles semblables et la relation entre les aires et les coefficients d’agrandissement. Voici les étapes détaillées :
Nous avons deux triangles :
Nous devons trouver les longueurs \(DE\) et \(DF\).
Puisque le triangle \(DEF\) est un agrandissement du triangle \(XYZ\), les deux triangles sont semblables. Cela signifie que les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles, et le rapport des surfaces est le carré du coefficient d’agrandissement.
Le triangle \(XYZ\) est rectangle en \(X\). L’aire \(A\) d’un triangle rectangle est donnée par : \[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \] Ici, les côtés \(XY\) et \(XZ\) sont les deux côtés perpendiculaires. \[ A_{XYZ} = \frac{1}{2} \times XY \times XZ = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, \mathrm{cm}^{2} \]
Nous connaissons les aires des deux triangles :
La relation entre les aires des triangles semblables est : \[ \frac{A_{DEF}}{A_{XYZ}} = k^{2} \] où \(k\) est le coefficient d’agrandissement.
En remplaçant : \[ \frac{24}{6} = k^{2} \Rightarrow 4 = k^{2} \Rightarrow k = \sqrt{4} = 2 \] Donc, le coefficient d’agrandissement est \(k = 2\).
Les longueurs des côtés correspondants dans les deux triangles sont proportionnelles au coefficient \(k\) :
\[ DE = k \times XY = 2 \times 4 = 8 \, \mathrm{cm} \] \[ DF = k \times XZ = 2 \times 3 = 6 \, \mathrm{cm} \]
Les longueurs recherchées sont :
\[ DE = 8 \, \mathrm{cm} \quad \text{et} \quad DF = 6 \, \mathrm{cm} \]