Exercice 162

Question : Trouve la fraction irréductible

1. \(\dfrac{18}{24} =\)
   
2. \(\dfrac{56}{98} =\)
   
3. \(\dfrac{15 \times 3}{9 \times 10} =\)
   
4. \(\dfrac{12 + 6 + 4}{6 + 4} =\)

Exercice 26 : On ajoute et on retranche. Calcule.

1. \(\dfrac{7}{8} + \dfrac{3}{4} =\)
   
2. \(5,2 - \dfrac{5}{9} =\)
   
3. \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{10} =\)
   
4. \(\dfrac{18}{36} - \dfrac{9}{27} =\)

Réponse

Résumé des réponses

A. Réduction des fractions : - \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\) - \(\dfrac{56}{98} = \dfrac{4}{7}\) - \(\dfrac{15 \times 3}{9 \times 10} = \dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{12 + 6 + 4}{6 + 4} = \dfrac{11}{5}\)

B. Exercice 26 : - a) \(\dfrac{7}{8} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{13}{8}\) - b) \(5,2 - \dfrac{5}{9} = \dfrac{209}{45}\) - c) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{13}{5}\) - d) \(\dfrac{18}{36} - \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{6}\)

Corrigé détaillé

Trouve la fraction irréductible

a) \(\dfrac{18}{24}\)

Étapes de réduction :

1. Trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 18 et 24.

   • Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
   • Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
   • Le plus grand commun diviseur est 6.

2. Diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD.

   \[ \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4} \]

Fraction irréductible : \(\dfrac{3}{4}\)

---

b) \(\dfrac{56}{98}\)

Étapes de réduction :

1. Trouver le PGCD de 56 et 98.

   • Les diviseurs de 56 sont : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.
   • Les diviseurs de 98 sont : 1, 2, 7, 14, 49, 98.
   • Le PGCD est 14.

2. Diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD.

   \[ \dfrac{56 \div 14}{98 \div 14} = \dfrac{4}{7} \]

Fraction irréductible : \(\dfrac{4}{7}\)

---

c) \(\dfrac{15 \times 3}{9 \times 10}\)

Étapes de réduction :

1. Effectuer les multiplications au numérateur et au dénominateur.

   \[ \dfrac{15 \times 3}{9 \times 10} = \dfrac{45}{90} \]

2. Trouver le PGCD de 45 et 90.

   • Les diviseurs de 45 sont : 1, 3, 5, 9, 15, 45.
   • Les diviseurs de 90 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
   • Le PGCD est 45.

3. Diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD.

   \[ \dfrac{45 \div 45}{90 \div 45} = \dfrac{1}{2} \]

Fraction irréductible : \(\dfrac{1}{2}\)

---

d) \(\dfrac{12 + 6 + 4}{6 + 4}\)

Étapes de réduction :

1. Effectuer les additions au numérateur et au dénominateur.

   \[ \dfrac{12 + 6 + 4}{6 + 4} = \dfrac{22}{10} \]

2. Simplifier la fraction.

   • Le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs, donc divisibles par 2.

3. Diviser par 2 :

   \[ \dfrac{22 \div 2}{10 \div 2} = \dfrac{11}{5} \]

Fraction irréductible : \(\dfrac{11}{5}\)

---

Exercice 26 : On ajoute et on retranche. Calcule.

a) \(\dfrac{7}{8} + \dfrac{3}{4}\)

Étapes de calcul :

1. Trouver un dénominateur commun.

   • Les dénominateurs sont 8 et 4.
   • Le plus petit multiple commun est 8.

2. Ajuster les fractions pour qu’elles aient le même dénominateur.

   \[ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8} \]

3. Additionner les numérateurs.

   \[ \dfrac{7}{8} + \dfrac{6}{8} = \dfrac{13}{8} \]

Résultat : \(\dfrac{13}{8}\)

---

b) \(5,2 - \dfrac{5}{9}\)

Étapes de calcul :

1. Convertir le nombre décimal en fraction.

   \[ 5,2 = \dfrac{52}{10} = \dfrac{26}{5} \]

2. Trouver un dénominateur commun pour les fractions \(\dfrac{26}{5}\) et \(\dfrac{5}{9}\).

   • Les dénominateurs sont 5 et 9.
   • Le plus petit multiple commun est 45.

3. Ajuster les fractions pour qu’elles aient le même dénominateur.

   \[ \dfrac{26}{5} = \dfrac{26 \times 9}{5 \times 9} = \dfrac{234}{45} \]

   \[ \dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{25}{45} \]

4. Soustraire les numérateurs.

   \[ \dfrac{234}{45} - \dfrac{25}{45} = \dfrac{209}{45} \]

5. Simplifier si possible.

   • \(209\) et \(45\) n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Résultat : \(\dfrac{209}{45}\)

---

c) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{10}\)

Étapes de calcul :

1. Trouver un dénominateur commun pour les fractions \(\dfrac{2}{5}\), \(\dfrac{5}{2}\), et \(\dfrac{3}{10}\).

   • Les dénominateurs sont 5, 2 et 10.
   • Le plus petit multiple commun est 10.

2. Ajuster les fractions pour qu’elles aient le même dénominateur.

   \[ \dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{4}{10} \]

   \[ \dfrac{5}{2} = \dfrac{5 \times 5}{2 \times 5} = \dfrac{25}{10} \]

   \[ \dfrac{3}{10} \text{ reste } \dfrac{3}{10} \]

3. Effectuer les additions et soustractions.

   \[ \dfrac{4}{10} + \dfrac{25}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{26}{10} \]

4. Simplifier la fraction.

   • Diviser le numérateur et le dénominateur par 2 :

   \[ \dfrac{26 \div 2}{10 \div 2} = \dfrac{13}{5} \]

Résultat : \(\dfrac{13}{5}\)

---

d) \(\dfrac{18}{36} - \dfrac{9}{27}\)

Étapes de calcul :

1. Simplifier chaque fraction individuellement.

   • Pour \(\dfrac{18}{36}\) :

     • PGCD de 18 et 36 est 18.

     \[ \dfrac{18 \div 18}{36 \div 18} = \dfrac{1}{2} \]

   • Pour \(\dfrac{9}{27}\) :

     • PGCD de 9 et 27 est 9.

     \[ \dfrac{9 \div 9}{27 \div 9} = \dfrac{1}{3} \]

2. Effectuer la soustraction entre les fractions simplifiées.

   \[ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \]

3. Trouver un dénominateur commun.

   • Les dénominateurs sont 2 et 3.
   • Le plus petit multiple commun est 6.

4. Ajuster les fractions pour qu’elles aient le même dénominateur.

   \[ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6} \]

   \[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6} \]

5. Soustraire les numérateurs.

   \[ \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6} \]

Résultat : \(\dfrac{1}{6}\)