Exercice 161

Question :

1. Pour chaque nombre du tableau ci-dessous, indiquez à quels ensembles de nombres il appartient.

Nombre	Entier naturel	Entier relatif	Décimal	Rationnel
\(7^{2}\)
\(\dfrac{-5}{2}\)
\(1,4 \times 10^{0}\)
\(-3 + 4\)
\(\sqrt{5}\)
\(\dfrac{3,6}{12}\)
\(\dfrac{2}{9}\)

2. Parmi les nombres réels, ceux qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels. Dans le tableau précédent, lesquels sont irrationnels ?

Réponse

Résumé de la Correction :

• Entiers naturels et relatifs : Seuls \(7^{2} = 49\) et \(-3 + 4 = 1\) appartiennent à ces ensembles.
• Décimaux et rationnels : Tous les nombres sont décimaux et rationnels à l’exception de \(\sqrt{5}\), qui est irrationnel.
• Nombre irrationnel identifié : \(\sqrt{5}\).

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Partie a. Classification des Nombres

Nous allons examiner chaque nombre du tableau et déterminer à quels ensembles il appartient : Entier naturel, Entier relatif, Décimal, et Rationnel.

1. \(7^{2}\)

• Calcul :

  \[ 7^{2} = 49 \]

• Classification :

  • Entier naturel : Oui, car \(49\) est un nombre entier positif.
  • Entier relatif : Oui, tout entier naturel est également un entier relatif.
  • Décimal : Oui, \(49\) peut s’écrire sous forme décimale \(49,0\).
  • Rationnel : Oui, tout entier est un nombre rationnel (pouvant s’écrire sous forme de fraction \(\frac{49}{1}\)).

2. \(\dfrac{-5}{2}\)

• Calcul :

  \[ \dfrac{-5}{2} = -2,5 \]

• Classification :

  • Entier naturel : Non, car le résultat est négatif et non entier.
  • Entier relatif : Oui, car \(-2,5\) appartient aux entiers relatifs si considéré comme une fraction, mais techniquement, les entiers relatifs sont les entiers positifs et négatifs sans partie décimale. Cependant, comme \(-2,5\) n’est pas un entier, il n’appartient pas à cet ensemble.
  • Décimal : Oui, \(-2,5\) est un nombre décimal.
  • Rationnel : Oui, il s’écrit sous forme de fraction \(\frac{-5}{2}\).

3. \(1,4 \times 10^{0}\)

• Calcul :

  \[ 1,4 \times 10^{0} = 1,4 \times 1 = 1,4 \]

• Classification :

  • Entier naturel : Non, \(1,4\) n’est pas un entier.
  • Entier relatif : Non, car ce n’est pas un entier.
  • Décimal : Oui, \(1,4\) est un nombre décimal.
  • Rationnel : Oui, \(1,4\) peut s’écrire sous forme de fraction \(\frac{14}{10}\), simplifiée en \(\frac{7}{5}\).

4. \(-3 + 4\)

• Calcul :

  \[ -3 + 4 = 1 \]

• Classification :

  • Entier naturel : Oui, \(1\) est un entier naturel.
  • Entier relatif : Oui, \(1\) appartient également aux entiers relatifs.
  • Décimal : Oui, \(1\) peut s’écrire sous forme décimale \(1,0\).
  • Rationnel : Oui, \(1\) peut s’exprimer comme \(\frac{1}{1}\).

5. \(\sqrt{5}\)

• Calcul :

  \[ \sqrt{5} \approx 2,236... \]

  \(\sqrt{5}\) est un nombre irrationnel, sa valeur décimale est non périodique et infinie.

• Classification :

  • Entier naturel : Non, \(\sqrt{5}\) n’est pas un entier.
  • Entier relatif : Non, ce n’est pas un entier.
  • Décimal : Oui, c’est un nombre décimal mais irrationnel.
  • Rationnel : Non, \(\sqrt{5}\) est un nombre irrationnel.

6. \(\dfrac{3,6}{12}\)

• Calcul :

  \[ \dfrac{3,6}{12} = \dfrac{3,6 \div 12}{1} = 0,3 \]

• Classification :

  • Entier naturel : Non, \(0,3\) n’est pas un entier.
  • Entier relatif : Non, ce n’est pas un entier.
  • Décimal : Oui, \(0,3\) est un nombre décimal.
  • Rationnel : Oui, \(0,3\) peut s’écrire comme \(\frac{3}{10}\).

7. \(\dfrac{2}{9}\)

• Calcul :

  \[ \dfrac{2}{9} \approx 0,\overline{2} \]

  La fraction \(\dfrac{2}{9}\) a une expansion décimale périodique \(0,222...\).

• Classification :

  • Entier naturel : Non, \(\dfrac{2}{9}\) n’est pas un entier.
  • Entier relatif : Non, ce n’est pas un entier.
  • Décimal : Oui, c’est un nombre décimal périodique.
  • Rationnel : Oui, toute fraction \(\frac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b \neq 0\) est rationnelle.

Résumé du Tableau

Nombre	Entier naturel	Entier relatif	Décimal	Rationnel
\(7^{2}\)	✔️	✔️	✔️	✔️
\(\dfrac{-5}{2}\)	❌	❌	✔️	✔️
\(1,4 \times 10^{0}\)	❌	❌	✔️	✔️
\(-3 + 4\)	✔️	✔️	✔️	✔️
\(\sqrt{5}\)	❌	❌	✔️	❌
\(\dfrac{3,6}{12}\)	❌	❌	✔️	✔️
\(\dfrac{2}{9}\)	❌	❌	✔️	✔️

Partie b. Identification des Nombres Irrationnels

Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels. Parmi les nombres du tableau précédent, identifions ceux qui sont irrationnels.

• \(7^{2} = 49\) : Rationnel
• \(\dfrac{-5}{2} = -2,5\) : Rationnel
• \(1,4 \times 10^{0} = 1,4\) : Rationnel
• \(-3 + 4 = 1\) : Rationnel
• \(\sqrt{5}\) : Irrationnel
• \(\dfrac{3,6}{12} = 0,3\) : Rationnel
• \(\dfrac{2}{9} \approx 0,\overline{2}\) : Rationnel

Conclusion : Parmi les nombres donnés, seul \(\sqrt{5}\) est irrationnel.