Calculer la valeur des expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible ou d’un nombre entier :
\(\frac{a}{\frac{a}{b}} - b^{2}\) pour \(a = \frac{2}{3}\) et \(b = -4\)
\(\left(\frac{x}{y}\right)^{2} - \frac{1}{4}\) pour \(x = -0,5\) et \(y = -\frac{4}{3}\)
\(\frac{x^{2} - y}{\frac{z}{2}}\) pour \(x = -1\), \(y = -\frac{2}{3}\) et \(z = -\frac{3}{2}\)
\(\frac{a^{3} - b^{3}}{(a - b)^{3}}\) pour \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = -1\)
\((a^{2} - 2ab + b^{2}) - (a^{2} - b^{2})\) pour \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = 2\)
\(a^{2} - a^{-2}\) pour \(a = -\frac{1}{3}\)
Réponses :
1) –20
2) –7/64
3) –20/9
4) 7
5) 10
6) –80/9
Nous allons résoudre chacune des expressions pas à pas en remplaçant les valeurs données et en simplifiant soigneusement.
────────────────────────────── 1) Expression : (a ÷ (a/b)) – b²
avec a = 2/3 et b = –4
Étape 1 : Calcul de a/b
a/b = (2/3) ÷ (–4) = (2/3) × (–1/4) = –2/12 = –1/6
Étape 2 : Calcul de a ÷ (a/b)
a ÷ (a/b) = (2/3) ÷ (–1/6) = (2/3) × (–6/1) = –12/3 = –4
Étape 3 : Calcul de b²
b² = (–4)² = 16
Étape 4 : Soustraction
(a ÷ (a/b)) – b² = –4 – 16 = –20
Réponse 1 : –20
────────────────────────────── 2) Expression : (x/y)² – 1/4
avec x = –0,5 et y = –4/3
Étape 1 : Calcul de x/y
x/y = (–0,5) ÷ (–4/3) = 0,5 ÷ (4/3)
= 0,5 × (3/4) = 1,5/4 = 0,375
Comme fraction, 0,375 = 3/8.
Étape 2 : Calcul de (x/y)²
(3/8)² = 9/64
Étape 3 : Soustraction de 1/4
1/4 = 16/64
Donc, (3/8)² – 1/4 = 9/64 – 16/64 = –7/64
Réponse 2 : –7/64
────────────────────────────── 3) Expression : (x² – y) ÷ (z/2)
avec x = –1, y = –2/3 et z = –3/2
Étape 1 : Calcul de x²
x² = (–1)² = 1
Étape 2 : Calcul du numérateur
x² – y = 1 – (–2/3) = 1 + 2/3
Mise sur le même dénominateur : 1 = 3/3, donc 3/3 + 2/3 = 5/3
Étape 3 : Calcul du dénominateur
z/2 = (–3/2) ÷ 2 = (–3/2) × (1/2) = –3/4
Étape 4 : Division
(5/3) ÷ (–3/4) = (5/3) × (–4/3) = –20/9
Réponse 3 : –20/9
────────────────────────────── 4) Expression : (a³ – b³) ÷ (a –
b)³
avec a = –1/2 et b = –1
Étape 1 : Calcul de a³ et b³
a³ = (–1/2)³ = –1/8
b³ = (–1)³ = –1
Étape 2 : Calcul du numérateur
a³ – b³ = (–1/8) – (–1) = –1/8 + 1
1 = 8/8, donc –1/8 + 8/8 = 7/8
Étape 3 : Calcul de (a – b)
a – b = (–1/2) – (–1) = –1/2 + 1 = 1/2
Alors, (a – b)³ = (1/2)³ = 1/8
Étape 4 : Division
(7/8) ÷ (1/8) = 7/8 × 8/1 = 7
Réponse 4 : 7
────────────────────────────── 5) Expression : (a² – 2ab + b²) – (a²
– b²)
avec a = –1/2 et b = 2
Étape 1 : Calcul de a², b² et 2ab
a² = (–1/2)² = 1/4
b² = 2² = 4
2ab = 2 × (–1/2) × 2 = –2
(Attention : –2ab signifie le double produit, donc ici –(–2) donnera
+2)
Étape 2 : Calcul de la première parenthèse
a² – 2ab + b² = 1/4 – [2ab] + b²
Ici, 2ab = –2, donc –2ab = –(–2) = +2
Donc, 1/4 + 2 + 4 = 1/4 + 6
6 = 24/4, somme = 1/4 + 24/4 = 25/4
Étape 3 : Calcul de la deuxième parenthèse
a² – b² = 1/4 – 4 = 1/4 – 16/4 = –15/4
Étape 4 : Soustraction
(25/4) – (–15/4) = 25/4 + 15/4 = 40/4 = 10
Réponse 5 : 10
────────────────────────────── 6) Expression : a² – a^(–2)
avec a = –1/3
Étape 1 : Calcul de a²
a² = (–1/3)² = 1/9
Étape 2 : Calcul de a^(–2)
a^(–2) = 1/(a²) = 1/(1/9) = 9
Étape 3 : Différence
a² – a^(–2) = 1/9 – 9
9 = 81/9, donc 1/9 – 81/9 = –80/9
Réponse 6 : –80/9
────────────────────────────── Récapitulatif des résultats :
1) –20
2) –7/64
3) –20/9
4) 7
5) 10
6) –80/9